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1、专题三专题三 函数的概念函数的概念一一. .知识网络知识网络二二. .高考考点高考考点1.映射中的象与原象的概念;2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.三三. .知识要点知识要点( (一一) )函数的定义函数的定义1 1、传统定义、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于某一范围内 x 的每一个值,y 都有唯一的值和它对应,那么就说 y 是 x 的函数,x 叫做自变量,y 叫做因变量(函数).2 2、现代定义、现代定义:设 A、B 是两个非空数集,如果按照
2、某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),xA.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.3 3、认知、认知: :注意到现代定义中“A、B 是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为 ,则此函数不存在.函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也
3、随之确定.( (二二).).映射的概念映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.1、定义 1:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A、B 及集合 A 到集合 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f：AB2、定义 2:给定一个集合 A 到集合 B 的映射 f：AB,且 aA,bB,如果在此映射之下元素 a 和元素b 对应,则将元素 b 叫做元素 a 的象象,元素 a 叫做元素 b 的原象原象.即如果在给定映射下有 f：ab,则
4、b 叫做a 的象象,a 叫做 b 的原象原象.3 3、认知、认知: :映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即 A 中任一元素在 B 中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许 B 中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据 B 中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.集合 A 到集合 B 的映射 f：AB 是一个整体,具有方向性； f：AB 与 f：BA 一般情况下是不同的映射.（三）、函数的表示法（三）、函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的
5、解析表达式,简称解析式.2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.认知认知: :函数符号的意义函数符号的意义在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y 是 x 的函数”这句话.其中,对于运用解析法给出的函数 y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量 x 施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.具体地,对于函数 f(x)=5 -2x+3(x1) 对应法则“
6、f”表示这样一套运算的框架:5( ) 2（ ）3，（ ）即 f: 5( ) -2( )+3,( )1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:f(a):对自变量 x 的取值 a 实施上述运算后的结果,故有 f(a)=5 -2a+3 (a1);f(x):对自变量 x 实施上述运算后的结果,故有 f(x)=5 -2x+3 (x1);f(g(x):对函数 g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x)=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)1 ) 感悟感悟: :函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味、,不难从中悟出这样的代换规律:f(x)
7、的解析式fg(x)的表达式我们将上述替换形象地称之为“同位替换同位替换”.显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由 f(x)的解析式导出 f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.四四. .经典例题经典例题例例 1.1.如右图,在直角梯形 OABC 中,ABOC,BCOC,且 AB=1,OC=BC=2,直线 l:x=,截此梯形所得位于 l 左方的图形面积为 S,则函数 S=f(t)的大致图象是以下图形中( )分析分析 1:1:立足于 f(t)
8、在 t0,1上的函数式.直线 OA 的方程为 y=2x,故当 0t1 时, ，,由此否定 A,B,D,应选 C.分析分析 2:2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.当 l 在,D 之间运动时,S 随着 t 的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即 S1, S2, Sn是递增的(Si是单位时间内面积的增量),故排除 A 和 B,对于 C 和 D,由 t0,1时 f(t)= 的凹凸性可排除 D,故应选 C.例例 2.2.如图所示,梯形 OABC 各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2),一条与 y 轴平行的直线从点 O 开始作平
9、行移动,到点 A 为止.设直线与 x 轴的交点为 M,OM=x,并记梯形被直线截得的在左侧的图形面积为 y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域. 分析分析: :如图,由于点 M 位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定左侧图形形状的关键点,故以 x=2,4 分划讨论的区间.解解: :(1)当 0x2 时,上述图形是一等腰 Rt,此时, ,即 ;(2)当 22),求 f(2x+1)的解析式;(2)已知 ,求 f(x1)的解析式.解解: : (1) f(x)=x2+2x-1 (x2)以 2x+1 替代上式中的 x 得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1
10、 (2x+12)f(2x+1)=4x2+8x+2 (x )(2)由已知得 以 x 替代上式中的 得f(x)=x2-1 (x1)f(x+1)=(x1)2-1 (x+11)即 f(x+1)=x2+2x (x0)点评点评: :上述求解也可运用换元法,但是,不论是“换元法”,还是上面实施的“同位替换”,它们都包括两个方面的替换: (1)解析式中的替换;(2) 取值范围中的替换.根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.例例 4.4. 设 y=f(2x+1)的定义域为-1,1,f(x-1)=x2,试求不等式 f(1-x)f(b)f(c),则映射 f 的个数为 ;若映射 f 满足 f(a)+f(b)
11、+f(c)=0,则映射 f 的个数为 ;若映射 f 满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射 f 的个数为 .(2)设 A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,从 A 到 B 的映射 f 满足f(1)f(2)f(3)f(4)f(5),则映射 f 的个数为 .分析分析:注意到 f(a)的意义:在映射 f：AB 之下 A 中元素 a 的象,故有 f(a),f(b),f(c)B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.解解: : (1)(1)由已知得 f(a),f(b),f(c)B列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取 0 或 1,f(c)只能取-1 或 0.根据映射的
12、定义,以 f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a) f(b) f(c)1 0 01 0 -11 -1 -10 -1 -1由此可知符合条件的映射是 4 个.列表法:注意到 f(a)+f(b)+f(c)=0,又 B 中三个元素之和为 0 的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a 的象 f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察f(a) f(b) f(c)0 0 00 1 -10 -1 11 0 -11 -1 0-1 1 0-1 0 1由此可知符合条件的映射有 7 个.分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即 a 的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的
13、个数为主线(从小到大)展开讨论.（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集0满足已知条件,此时符合条件的映射 f 只有 1 个.（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为-1,0或1,0-1,0:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;1,0:1=0+1,1=1+0 此时符合条件的映射有 4 个.（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为-1,0,1-1,0,1: 0=1+(-1), 0=(-1)+1此时符合条件的映射 f 有 2 个于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射 f 的个数为 7.(2)(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开
14、讨论.(i)当象集合为单元素集时,象集为6或7或8,故此时满足条件的映射 f 有 3 个;(ii)当象集合为双元素集时,先将 A 中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有 3 种情形,故此时符合条件的映射 f 有 3=12 个;(iii)当象集合为三元素集时,先将 A 中元素分为 3 组,有 种分法，又每三组的象只有 1 种情形,故此时符合条件的映射 f 有 1=6 个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射 f 的个数为 3+12+6=21.点评点评: :在认知 f()(A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用
15、方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.例例 6.6. 已知函数 f(t)对任意实数 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且 f(-2)=-2.(1)求 f(1)的值;(2)试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数,并说明理由.分析分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着“一般”与“特殊”之间的辩证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标.解: (1)为了出现 f(1),在上述恒等式中令 x=1,y=-1 得 f(0)=f(1)+f(-1) 又令 x=0,y=0 得 f(0)=-1 令 x=-1,y=-1 得 f(-2)=2f(-1)+2 f(-2)=-2, f(-1)=-2 将、代入得 f(1)=1.(2)为利用 f(1)=1,在上述恒等式中令 x=1 得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2当 tZ 时,有 f(t+1)-f(t)=t+2 根据,运用阶差法得f(t)=f(1)+f(2)-f(1)+f(t)-f(t-1)f(t)=1+(1+2)+(2+2)+(t-1)+2=1+2
