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1、专题一专题一 函数图象与性质的综合应用函数图象与性质的综合应用1函数的性质(1)函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位(2)考查函数的定义域、值域的题型，一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式，再研究函数的定义域与值域(3)中档题常考题型利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题. (4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现，它是高考中
2、的重要题型之一，特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型2函数的图象(1)函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容(2)作图一般有两种方法：描点法、图象变换法特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律(3)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视(4)用图，主要是数形结合思想的应用.题型一题型一 函数求值问题函数求值问题例 1 (2011苏州模拟)设 f(x)Error! 且 f(1)6，则 f(f
3、(2)的值为_思维启迪：首先根据 f(1)6 求出 t 的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f(f(2)的值，并利用指数与对数的运算规律求解函数值答案 12解析 10，f(1)2(t1)6，即 t13，解得 t2.故 f(x)Error!所以 f(2)log3(2)22log360.f(f(2)f(log36)23log362612.探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题解决此类问题的关键是要根对应着不同的函数解析式；二是对
4、数与指数的综合运算问题解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值(2011广东六校联考 )已知f(x)Error!则ff的值等于( )(43)(43)A2B1C2D3答案 D解析 f ，ff1f2 ，ff3.故选 D.(43)12(43)(13)(23)52(43)(43)题型二题型二 函数与不等式问题函数与不等式问题例 2 设奇函数 f(x)在(0，)上
5、为单调递增函数，且 f(2)0，则不等式0 的fxfxx解集为 ( )A2,02，)B(，2(0,2C(，22，)D2,0)(0,2思维启迪：转化成 f(m)0 时，则有 f(x)0f(2)，由 f(x)在(0，)上单调递增可得 x2；当 x0 时的解集即可(2011临沂一模)设函数 f(x)Error!若 f(m)0 时，f(m)1；12当 m0，f(x)在0,1上先增后减，但在上有增有减且不对称0，12对于选项 A，m1，n1 时，f(x)ax(1x)是二次函数，图象应关于直线 x 对称，不符合12题意对于选项 B，m1，n2 时，f(x)ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x
6、24x1)a(x1)(3x1)，令 f(x)0，得 x1 或 x ，13f(x)在上单调递增，符合题意，选 B.0，13对于选项 C，m2，n1 时，f(x)ax2(1x)a(x2x3)，f(x)a(2x3x2)ax(23x)，令 f(x)0，得 0x ，23f(x)在上单调递增，不符合题意0，23对于选项 D，m3，n1 时，f(x)ax3(1x)a(x3x4)，f(x)a(3x24x3)ax2(34x)，令 f(x)0，得 0x ，34f(x)在上单调递增，不符合题意0，34题型四题型四 函数的最值与不等式恒成立问题函数的最值与不等式恒成立问题例 4 (2011天津滨海新区五所重点学校联考
7、)定义在 R 上的增函数 yf(x)对任意 x，yR都有 f(xy)f(x)f(y)(1)求 f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若 f(k3x)f(3x9x2)0 对任意 xR 成立令 t3x0，问题等价于 t2(1k)t20 对任意 t0 恒成立令 f(t)t2(1k)t2，其对称轴为 x，1k2当0，符合题意；1k2当0 即 k1 时，对任意 t0，f(t)0 恒成立Error!1k2解得1kf(x) (或 a0 且 a1)，如果对于任意的 x ，2都有|f(x)|1 成立，13试求 a 的取值范围解 f(x)logax，则 y|f(x)|的图象如右图由图示，可使 x ，2时恒
8、有|f(x)|1，13只需|f( )|1，13即1loga1，13即 logaa1logalogaa，13亦当 a1 时，得 a1 a，即 a3；13当 00 且 a1，f(x)x2ax，当 x(1，1)时均有 f(x)x2 在(1,1)上恒成立， 令 y1ax，y2x2 ，1212由图象知：Error! a0，a1，函数 f(x)loga(x22x3)有最小值，则不等式 loga(x1)0的解集为_答案 (2，)解析 x22x30，即(x1)220 的解集为 R，函数 f(x)loga(x22x3)的定义域为 R.又函数 yx22x3 有最小值 2，无最大值据题意有 a1.loga(x1)0
9、loga1 等价于Error!解得 x2，即不等式 loga(x1)0 的解集为(2，)5已知 x2x ，则实数 x 的取值范围是_13答案 x|x1解析 分别画出函数 yx2与 yx 的图象，如图所示，由于两函13数的图象都过点(1,1)，由图象可知不等式 x2x 的解集为x|x1点评 本题根据幂函数的图象求解，不等式 x2x 的解集即为幂函13数 yx2的图象在幂函数 yx 的图象上方部分的所有点的横坐标的集合136已知函数 f(x)Error!在 R 上是单调递增函数，则实数 a 的取值范围为_答案 7,8)解析 由题意知，实数 a 应满足Error!，即Error!，解得 7a0，且
10、a1，f(logax).aa21(x1x)(1)求 f(x)；(2)判断 f(x)的单调性；(3)求 f(x23x2)1 时，axax为增函数，又0，f(x)为增函数；aa21当 00D11.又函数 f(x)的周期为 3，f(1)f(2)1，0，2a1a13aa1解得 a0 或 a1)恰有 3 个不(12)同的实数根，则 a 的取值范围是 ( )A(1,2)B(2，)C(1，)D(，2)3434答案 D解析 由 f(x2)f(x2)，知 f(x)是以 4 为周期的周期函数,于是可得 f(x)在(2,6上的大致图象如图中实线所示，令 g(x)loga(x2) (a1)，则 g(x)的大致图象如图
11、所示，结合图象可知，要使得方程 f(x)loga(x2)0 (a1)在区间(2,6内恰有 3 个不同的实数根，则必须且只需Error!，即Error!，解得f(a)，则实数 a的取值范围是_答案 (2,1)解析 f(x)是奇函数，当 xf(a)，得 2a2a，即20，a1)的图象关于原点对称1mxx1(1)求 m 的值；(2)判断函数 f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当 a1，x(t，a)时，f(x)的值域是(1，)，求 a 与 t 的值解 (1)函数 f(x)loga (a0，a1)的图象关于原点对称，1mxx1f(x)f(x)0，即 logalogaloga0，1mxx11mxx11mx1mxx1x1由1，得 m21，m1 或 m1.1mx1mxx1x1当 m1 时，10，解得 x1.1mxx11xx11xx1符合条件的 m 的值为1.(2)由(1)得 f(x)loga，任取 10，x21x11x21x21即 f(x2)f(x1)0，此时 f(x)为增函数；当 a1 时，loga1 时，f(x)在(1，)上为减函数；同理在(，1)上也为减函数当(t，a)(，1)时，f(a)f(x)f(t)0 与已知矛盾，舍去；当(t，a)(1，)时，函数 f(x)的值域为(1，)，f(a)1 且0，解得 t1，a1.t1t12
