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1、三角函数三角函数三角函数三角函数 知识要点知识要点知识要点知识要点1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|o终边在 x 轴上的角的集合： Zkk,180|o终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|oo终边在坐标轴上的角的集合： Zkk,90|o终边在 y=x 轴上的角的集合： Zkk,45180|oo终边在轴上的角的集合：xyZkk,45180|oo若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：ko360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：oo180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：ko180角与角的终边互相垂直，则
2、角与角的关系：oo90360k2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad57.30=5718 10.01745（rad） 180 1803、弧长公式：. 扇形面积公式：rl|211| |22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 ； ； ； ； ；. . rysinrxcosxytan yxcotxrsecyrcsc5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、
3、 、 、 、 、 、 、 、 、-+-+、 、 、 、 、oooxyxyxy6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx)(xfRxx|cosx)(xfRxx|tanx)(xfZkkxRxx,21|且cotx)(xfZkkxRxx,|且secx)(xfZkkxRxx,21|且cscx)(xfZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式： tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc22 9、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限” 2k把的三
4、角函数化为的三角函数，概括为：三角函数的公式：（一）基本关系xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公公式式组组一一sinxcscx=1tanx=xx cossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xx sincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1yxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1 2 3 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxco
5、sxcosxr oxya的 的 的P、 x,y)TMAOPxy(3) 个 o|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个 个 个 个 个 个:OOxyxy公式组四公式组四 公式组五公式组五 公式组六公式组六 xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换 公式组一公式组一 公式组二公式组二sinsinco
6、scos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin( 2tan1tan22tan sincoscossin)sin(2cos1 2sintantan1tantan)tan(2cos1 2costantan1tantan)tan(公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五2tan12tan2 sin 2 2tan12tan1 cos 22 2tan12tan2 tan2 ,. 42675cos15sinoo 42615cos75sinoo3275cot15tanoo3215cot75
7、tanoo10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在xysinxysinxycosxycos)(xfy 上递增（减） ，则在上递减（增）.,ba)(xfy,ba与的周期是.xysinxycos或（）的周期.)sin(xy)cos(xy02T的周期为 2（，如图，翻折无效）. 2tanxy 2TT的对称轴方程是（） ，对称中心（） ；的对称轴方程是（)sin(xy2 kxZk 0 ,k)cos(xykx ） ，对称中心（） ；的对称中心（）.Zk 0 ,21k)tan(xy0 ,2kxxyxy2cos)2cos(2cos原点对称
8、当；.tan, 1tan)(2Zkktan, 1tan)(2Zkk与是同一函数,而是偶函数，则xycoskxy22sin)(xycoscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos sincos1 cos1sin cos1cos1 2tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(Oyx)cos()21sin()(xkxxy.函数在上为增函
9、数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也xytanRxytan是错误的. 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ，)(xf二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）)()(xfxf)()(xfxf奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）xytan)31tan(xy奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x0)(xf0)0(fx0xysin不是周期函数；为周期函数（） ；xysinT是周期函数（如图） ；为周期函数（） ；xycosxyco
10、sT的周期为（如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 212cosxyRkkxfxfy),(5)( 有.abbabaycos)sin(sincos22yba2211、三角函数图象的作法：1） 、描点法五点作图法 2） 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当 x0 时的相位） （当2 |T 1| 2fT ;xA0，0 时以上公式可去绝对值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短 （当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx
11、的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）.由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到 ysin x 的图象，叫1| 做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x). 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行 移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方 向的平移 （用 y+
12、(-b)替换 y）. 由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x） （A0，0） （xR）的图象， 要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。xAysin（A、0） 定义域RRR值域 1, 1 1, 1RRAA,周期性 222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶, 0当奇函数, 0单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数 （）Zk 2,12kk ；上为增函数12,2kk上为减函数 （）Zk kk2,2上为增函数 （）Zk 上为减函1,kk数（）Zk )(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数 （）Zk ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinyxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象
