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1、抛物线抛物线 抛物线也是圆锥曲线中的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛 物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。 1、抛抛物物线线的的定定义义 平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合)称之为抛物线。F 称为“抛物线的焦点 “,l 称为“抛物线的准线 “。 如图：设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p，M 为动点，以 FN 的中点为原点，以 FN为 x 轴，建立坐标系，设动点 M 的坐标为(x,y) 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等， 则有：2222pxypx 整理可得抛物线的标准形式为：
2、pxy22对应的焦点坐标为（）0 ,2p对应的准线方程为2px对应的顶点坐标为（ 0，0） 离心率 e=1 抛物线的形式一共有以下四种：2、抛抛物物线线的的性性质质pN定直线 l定点 FM设抛物线的标准方程 y2=2px(p0)，则 （1）.范围：则抛物线上的点(x,y)的横坐标 x 的取值范围是 x0.,在轴右侧抛物线向右上方 和右下方无限延伸。 （2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的 轴的交点叫做抛物线的顶点. （3） 顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。 （4） 离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比
3、叫做抛物线的离心率， 其值为 1. （5）.在抛物线 y22px（p0）中，通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为 2p.),2(),2(pppp（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线但它不是双曲线的切线. .（7）焦点弦长公式：过焦点弦长121222ppPQxxxxp抛物线和椭圆、双曲线的比较抛物线和椭圆、双曲线的比较 （1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于 1；它只有一 个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有
4、渐近线. （2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心 圆锥曲线. 3.习题讲解习题讲解 例 1 （1）如图 5，已知定直线 及定点，定直线上有一动点，过垂直于 的直线与线段lFNNlNF 的垂直平分线相交于点，则点的轨迹是什么形状的曲线？MM （2）点与的距离比它到直线的距离小 1，点的轨迹是什么形状的曲线？M(4,0)F:50l xM（3）已知圆，动圆与圆外切且与轴相切（图 6） ，的轨迹是什么22:(3)1CxyMCyM形状的曲线？例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线准线上的射影分别 为A1、B1，则 A1
5、FB1=_。A. 45 B. 60 C. 90 D. 120例 3. 设 P 是抛物线上的一个动点。xy42（1）求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到直线的距离之和的最小值；（2）若 B（3，2），求的最小值。PFPB 解：（1）如图 3，易知抛物线的焦点为 F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点 P 到直线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到 F（1，0） 的距离之和最小。显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求最小值为，即为。AF5（2）如图 4，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛
6、物线于点 P1，则，则有=4FPQP11BQQPBPPFPB11即的最小值为 4PFPB 同类型拷贝题：（2008 辽宁卷 10）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点P22yxP 的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (0,2)P 解析：运用抛物线的定义，将到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离，如右图，当点P与以及三点共线时，距离之和最小，即为A(0,2)PF17 2AF 图 4图 3同类型拷贝题：已知 A（3，1） ，抛物线42xy 上一点 P（x,y） ，则|PA|+y 的最小值为 。解析：抛物线42xy 的准线为：y= -1，焦点 F（0，1） ，记 P 在直线 y= -1 上的
7、射影为 Q，则 y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见： |PA|+|PF|AF|=3，当且既当 F、P、A 共线时等号成立，故：|PA|+y 的最小值为 2。例 4. 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。pxy22证明：如图 5，设抛物线的准线为 ，过 A、B 两点分别作 AC、BD 垂直于 ，垂足分别为 C、D。取线段 AB 中点 M，作 MH 垂直 于 H。图 5由抛物线的定义有：BFBDAFAC，ABDC 是直角梯形即为圆的半径，而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直，故本题得证。MH
8、例 5、 （2008 四川卷 12）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在2:8C yxFxKA上且，则的面积为 C2AKAFAFK解析：如图，过点作垂直于准线于点，AAMM 由抛物线定义得，又AMAF2AKAF则，在中，2AKAMRt AMKAMMK即，此时垂直于轴，为等腰直角三角形，故面AFMKAFxAFK积为22114822KF例 6 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴.。证明：直线 AC 经过原点 O,抛物线的焦点为 F（，0） ，2p经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x=my+，代入
9、抛物线方程，得 y2-2pmy-p2=0.2p设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.BCx 轴，且点 C 在准线 x=-上，点 C 的坐标为（-，y2）.2p 2p直线 OC 的斜率为 k=，即 k 也是直线 OA 的斜率.111222xy yp py 直线 AC 经过原点 O. 例 7、A、B 是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，满足 OAOB（O 为坐标原点）.求证： （1）A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； （2）直线 AB 经过一个定点. 证明（1）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 y12=2px1、y22=
10、2px2. OAOB,x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2(-y1y2). y1y2=-4p2，从而 x1x2=4p2也为定值.（2）y12-y22=2p(x1-x2)，.2121212 yyp xxyy 由两点式可得：1 12121121211xyyxxyyxxxyy xxyy令 y=0。可得直线 AB 与 x 轴的焦点坐标 ppyyxpyyyxpyyyxyyxxyx222221 1212 1 1211 1 12121直线 AB 经过定点（2p，0）. 同类型拷贝题： 高考链接：过定点 Q（2p,0)的直线与 y2 = 2px（p0）交于相异两点 A、B，以线段 AB
11、 为直 径作圆 H(H 为圆心） ，试证明抛物线顶点在圆 H 上。 变式 1： 若直线 l 过定点(2p,0)且与抛物线 y2 = 2px (p0)交于 A、B 两点，求证：OAOB.例 8：若椭圆12222 by ax(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 53 的两段，则此椭圆的离心率为 ： (A)16 17(B)4 17 17(C)4 5(D)2 5 5来源:Zxxk.Com解析：抛物线 y2=2bx 的焦点为 F（2b，0） ，F 将线段 F1F2分成 53 的两段，（2b+c）：（c -2b）=53c=2be=2 5 5,选 D。例
12、例 9 9：斜率为 1 的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛 物线相交于点A、B，求线段A、B的长 分析：这是灵活运用抛物线定义的题目基本思路是：把 求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和 解：如图 831，y2=4x的焦点为F (1，0)，则lxyF1F2CABO的方程为y=x1由消去y得x26x+1=0 142xyxy设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6 又A、B两点到准线的距离为，则AB 8262112121xxxxBBAA例 10： 椭圆 C1：)0( , 12222 baby ax的左准线为l，左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线C2的准线也为l，焦点为
13、 F2，记 C1与 C2的一个交点为 P，则| |21121 PFPF PFFF= （ B ）A21B1 C2 D与 a,b 的取值有关 acaaPFacacPFac PFPFaPFPF2222121211 222221121 ac acaacaaacacacacc PFPFPFFF例 11：如图，设抛物线2:xyC的焦点为 F，动点 P 在直线02: yxl上运动，过 P 作抛 物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.则APB 的重心 G 的轨 迹方程为 . 解析：设切点 A、B 坐标分别为)(,(),(012 112 00xxxxxx和， y/=2x，两
14、切线斜率分别为：2x0和 2x1, 于是：切线 AP 的方程为：; 022 00xyxx切线 BP 的方程为：; 022 11xyxx解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以APB 的重心 G 的坐标为 PP Gxxxxx310，,343)( 332102 10102 12 010pPP Gyxxxxxxxxxyyyy243GGpxyy，结合px=Gx代入点 P 所在在直线方程，得到重心 G 的轨迹方程为：).24(31, 02)43(22xxyxyx即注：上述求轨迹的方法称为“参数法” ，一般先设法将动点坐标 用“参数”表示，再消参数。例 12：过椭圆192522 yx的右焦点
15、 F2并垂直于 x 轴O G B A y x P l 的直线与椭圆的一个交点为 B，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件： |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，则弦 AC 的中垂线在 y 轴上的截距的范围是 。解析：对|F2A|+|F2C|=518使用焦半径公式得：5-54x1+5-54x2=518x1+x2=8.此后，可以设 AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记 AC 中点 M（4，y0）, 将 A、C 两点的坐标代入椭圆方程后作差得：21212121 259 yyxx xxyy ，04 259 ykAC,于是有：AC 的中垂线的方程为：)4(36250 0xyyy，当 x=0 时：y=-9160y，此即 AC 的中垂线在 y 轴上的截距，注意到：M（4，y0）在椭圆“内” ，1925162 0y，得-590y5
