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1、 浅谈数形结合思想方法浅谈数形结合思想方法摘要摘要：数形结合法是一种重要的数学思想方法。本文在揭示数形结合法的本质的基础上，主要从两个方面来论述：一是从解题与思维能力培养两个方面阐述数形结合方法在具体解题中的作用；二是探讨数形结合思想方法的思维，其中包括数形结合思想方法的形成，应用原则，注意事项等.关键词关键词： 数形结合 直观 变换与转化引言：数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数
2、学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。本文就针对数形结合思想在数学解题中的应用简单谈一下自己的看法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对
3、象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非 ”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过 “以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.（一）解决集合问题（一）解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、
4、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例例 1 1 已知集合 求 2 , 3,4 , 0BABA分析分析 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 , 由图 我们不难得出.11 3 , 0BA图1例例 2 2 有 48 名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的 8 人，同时参加数化小组的 6 人，同时参加理化小组的 7 人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析分析 我们可用圆、分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的ABC公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数用表示集合的元素，则
5、有：n 数A 理B 化C01234512343 , 2B 4 , 0Ax 48CBAnCBnCAnBAnCnBnAn即 148768152528 CBAnCBAn即同时参加数理化小组的有 1 人(2)(2) 解决方程与不等式的问题解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例例 3 3 解不等式062 xx分析分析 我们可先联想对应的二次函数的图像从解得62xxy062 xx知该抛物线与轴交点横坐标为当取交点两侧的值时，即3, 221xxx3 , 2x或时，即故
6、可得不等式的解集为：2x3x0y062 xx062 xx32xxx或图 3例例 4 4 设关于的不等式的解集为,且求xxaxx142A20xxA的解集.a分析分析 本题如果用纯代数法，着眼于求出集合 A，就相当麻烦如果用数形结合的观点看待已知不等式，从“形”的角度去考虑可得下列简捷解法：设 则即,4042xxxy224xxy于是的集合图形是以为圆心，0, 40, 4222yxyx24xxy0 , 2为半径的半圆.如图 4 而是过原点的直线束2xay1问题转化为求半圆在动直线上方且时，的值集易得，即20 xa11a2a故的值集为.a2aa（三）解决函数问题 借助图象来研究函数的性质是一种常用的方
7、法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。例例 5 5 已知函数的图象如图，则（） dcxbxaxxf225: : A0 ,bB 2 , 1by02x: :C 1 , 0bD, 2b图 5 分析分析 如图有三个根5 0xf, 2 , 1 , 0 .323212323abaxaxaxxxaxdcxbxaxxf 由图易知：当时,且此时则必有选5 0, 10xfx02, 01xx0, 0ba.A例例 6 6 求函数的最小值84122xxxy12xOy图 6分析分析 考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维
8、受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为,令， 222222202100841xxxxxA 1 , 0，则问题转化为在轴上求一点，使有最小值.如图 6B2 , 2P0 , xXPPBPA 由于在轴同侧,故取关于轴的对称点故ABXAXC1, 0 13120222minCBPBPA（四）解决三角函数问题（四）解决三角函数问题有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。例例 7 7 设 求证: 。.2,4 ppx12cotcscxx分析: 由条件联想等腰三角
9、形,不妨构造一个等腰直角三角形, ABC如图 7，设, 利用 ，可得.xCDB 2ABDBAD12cotcscxxBPAC0xyABCDx图 7( ( 五五) ) 解决几何中的问题解决几何中的问题例例 8 8 过圆：外一点向此圆作两条切线，当这两切线互D11122yxP相垂直时，求动点的轨迹方程P分析分析 本题一般用参数法去解，但运算量大且有一定的技巧，不易求解如果运用数形结合的观点，仔细观察图形的性质，不难发现动点是正方形的顶点，因P21DTPT此是定值，得简捷解法如下PD图 8P1T2Tx0y解解 如图 8，设切点为、，连结，则，1T2TPDDTDT,212211,PTDTPTDT又，且，
10、那么是正方形，从而21PTPT21PTPT 12PTDT221DTPD设动点，则，这就是所求的轨迹方程yxP,21122yx综上所述，数形结合思想中是通过“数”与“形”的这两个基本对象，既互相渗透，又相互独立，尤其在坐标系中结合更加紧密，从而洞察出问题本质，提示出被掩盖的某些特征，找出问题，提出新观点。通过对具体的图象分析得出解决问题的办法。由数思形，以形思数，加深学生对抽象数学知识的理解，发展学生智力，同时注意到“数形结合”的教学方法应当循序渐进的进行，以学生掌握知识水平慢慢的孕育渗透，对不同的教学要求，还要与其它方法综合应用，让学生渐渐地领悟理解和掌握，从而达到对学生应用知识培育，提高教育
11、办学水平和目的。 参考文献参考文献1 杨桂元.经济数学基础(二)线性代数成都电子科技大学出版社.2004 年 4 月2 李世栋.乐经良 冯卫国 王纪林. 线性代数 科学出版社. 2000 年 6 月3 周义仓.赫孝良 .数学建模实验 西安交通大学出版社. 1999 年 7 月4 赵树源.经济数学基础 线性代数(二)中国人民大学出版社. 2003 年 8 月5 谢云荪.数学实验 科学出版社 .1999 年 2 月Shallow thought method for talking to count shape wedge BondingHu XiaofengChifeng University
12、Mathematic Department Chifeng 024000 AbstractIt is important mathematics to thought a method to count shape wedge bonding law.This text is in announcing to public and counting shape tie hypostatic foundation of lawful, main from two to the treatise:One from the solution and the thinking capability d
13、evelop 2 to elaborate to count shape wedge bonding the method at concretely the solution of action;Two is the thinking that inquires into counting a shape wedge bonding thought method, include the forming of counting the shape wedge bonding thought method amongKeywords: Several shapes combine Keep a view Transform and conversion
