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1、根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 1 -根与系数的关系根与系数的关系韦达定理韦达定理吴翼腾基本概念基本概念1.根与系数的关系称为韦达定理根与系数的关系称为韦达定理（在此研究一元二次方程根与系数的关系） 。2.韦达定理内容：韦达定理内容：方程的根是，02cbxaxabxabx2,221。应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实acxxabxx2121,数根，即必须满足判别式。0韦达定理的应用韦达定理的应用（一）检验一元二次方程的解（一）检验一元二次方程的解例如：是否是的解？12, 1221xx01222xx（二）已知方程的一个根，求另一个根及待定系数的值（二）已知方程的一个根，求另一个根及待
2、定系数的值1.已知方程的一个根为，求另一个根及 m 的值。0322mxx212.利用根与系数的关系解方程：422233 xx（三）不解方程，求根的代数式的值（三）不解方程，求根的代数式的值规律总结：对称式因式分解，求绝对值平方加讨论，整式非对称式降次，分式非对称式转化为对称式求解，求最值用判别式，在配方点和端点上。例题一1.设方程的两根为不解方程，求下列代数式的值：03742 xx,21xx（1） （2） （3） （4）)3)(3(21xx3 23 1xx 112112 xx xx21xx 根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 2 -2.已知 m 为实数，方程有两个实根求的值。022mxx,21x
3、x|21xx3.设是二次方程的根，求的值。21,xx032 xx1942 23 1 xx4.已知是方程的两个根，且不解方程，利用根与系数,0872 xx,的关系求的值。2325.对自然数 n，设 x 为二次方程的两根为求：0) 12(22nxnx,nn的值。) 1)(1(1 ) 1)(1(1 ) 1)(1(120204433L6.设为方程的两个实数根，求的最21,xx0)53()2(22kkxkx2 22 1xx大值和最小值。根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 3 -练习一练习一1.已知分别是方程的根，求的值。,03)3(32 babacxcba200320032.已知的两根为不解方程，求的值。
4、01222 xx,) 12)(12(223.设方程的两个根是求的值。03242 xx,2424.已知分别是方程的两个根，求的值。,012 xx35525.设一元二次方程的两个实根的和为平方和为，立方和为02cbxax,1s2s求的值。,3s123csbsas6.已知是方程（为实数）的两实根，求ba,0)53()2(222kkxkxk的最小值。22ba 根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 4 -7.若的两实根为，求的最小值。0622mmxxba,22) 1() 1(ba（四）求作新方程（四）求作新方程 求作新方程公式：；推导：0)(21212xxxxxx，原方程为，acxxabxx2121,Q)0
5、(02acbxax, 02 acxabx。要求做一个与原方程根互为倒数的方程，只需把二次0)(21212xxxxxx项系数与常数互换。例题二例题二1.求作一个新方程，使它的两个根分别是方程的各根的负倒数。03252 xx2.不解方程，求作一个关于 y 的一元二次方程，使它的首项系数为 1，两根分别为方程的五次方。0132 xx3.已知满足为根，求作一个二次,，试以,2711,43312222 项系数为 1 的一元二次方程。根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 5 -练习二练习二1.求作一有利系数一元二次方程，使得为它的一个根。5492.已知一元二次方程两根之差为 p，积为 q，二次项系数为 1，则
6、该方程为_。3.已知方程， （1）不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根0582 xx比已知方程各根均大于一个常数 a。 （2）当 a 取何值时，所求方程缺一次项？并写出这个方程。4.已知，求以为根的一元二次方程。 1414322,22满足，（五）已知方程两根间的关系，求待定系数的值（五）已知方程两根间的关系，求待定系数的值例题三例题三1.已知关于 x 的方程的两个实数根的平方和等于 6，求 k02) 1(2kxkx的值。2.若方程的两根也是方程的根，则0132 xx,024qpxx_。qp根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 6 -3.已知两数之积，且，1ab, 03123456789022a
7、a02123456789032bb求。ba4.设是关于的一元二次方程的两根，且21,xxx01)2(2xpx。的值求p,27)(1)(1122211xxpxxxpx5.已知是方程的两个根， （1）适当选取实数 a 的值，问21,xx4442aaxax能否使（2）求使的值为整数的 a 整数的；的值等于45)2)(2(1221xxxx22 112 2 xx xx值。练习三练习三1.设是方程的两实根，且，求 k21,xx02) 1(222kxkx8) 1)(1(21xx的值。根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 7 -2.若方程的两根也是方程的根，则02322 xx,024qpxxp=_。3.设方程的两根恰是 p 与 q，求 p 与 q 的值。02qpxx4.已知 m,n 是有理数，且方程有一个根是，求 m+n。02nmxx25 5.设 a,b 是整数，方程有一根是，那么 a+b 的值是02baxx347_。6.已知是方程的两个实数根，若恰有成立，求 q21,xx02qxxqxx21的值。7.设是关于 x 的一元二次方程的两根，且ts,08)2(2xpx求 p 的值。, 4)(1)(1stpttsps8.已知为正整数，方程的两根为质数，则 q 的值为qp,019912qxpx_。根与系数的关系韦达定理 吴翼腾- 8 -吴翼腾2007 年 7 月 14 日
