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1、求递推数列的通项公式的九种方法求递推数列的通项公式的九种方法求递推数列的通项公式的九种方法求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式， 在理论上和实践中均有较高的 价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中 数学联赛的热点之一.一、作差求和法一、作差求和法一、作差求和法一、作差求和法 m m m m w.ww.ww.ww.w.w.k.s.5.u.c.o例 1在数列na中，31=a,) 1(11+=+nnaann，求通项公式na.解 ： 原 递 推 式 可 化 为 ：1111+=+nnaann则,21 1112+=aa31 2123+=aa41 3134+=aa， ，nna
2、ann1 111+=逐项相加得：naan111+=.故nan14=.二、作商求和法二、作商求和法二、作商求和法二、作商求和法例 2设 数 列 na 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 ， 且0) 1(122 1=+nnnnaanaan（n=1,2,3） ，则它的通项公式是na=（2000 年高考 15 题）解：原递推式可化为：)() 1(11nnnnaanaan+=0nnaa+10，11 +=+ nn aann则,43,32,21342312=aa aa aa ，nn aann11=逐项相乘得：naan11=，即na=n1.三、换元法三、换元法三、换元法三、换元法例 3已知数列na，其中9
3、13,3421=aa，且当 n3时，)(31211=nnnnaaaa，求通项公式na（1986 年高考文科第八题改编）.解：设11=nnnaab，原递推式可化为： ,3121nnnbbb=是一个等比数列，91 34 913121=aab，公比为31.故nnn nbb)31()31(91)31(22 11= .故n nnaa)31(1=.由逐差法可得：n na)31(21 23=.例 4 已知数列na，其中2, 121=aa，且当 n3 时，1221=+nnnaaa， 求 通 项 公 式na。 解由1221=+nnnaaa得：1)()(211=nnnnaaaa，令11=nnnaab，则上式为12
4、1=nnbb，因此nb是一个等差数列，1121=aab，公差为 1.故nbn=.。由于112312121=+=+nnnnaaaaaaabbb又2) 1(121=+nnbbbn所以) 1(211=nnan，即)2(212+=nnan四、积差相消法四、积差相消法四、积差相消法四、积差相消法例 5 （1993 年全国数学联赛题一试第五题） 设正数列0a，1a，na ，na， 满 足2nnaa21nnaa=12na)2( n且110=aa，求na的通项公式.解将 递 推 式 两 边 同 除 以21nnaa整 理 得 ：12211=nnnn aa aa设nb=1nn aa，则01 1aab=1，121=
5、nnbb，故有1212=bb1223=bb121=nnbb(1n)由 22n+32n+ +(1n)02得122221+=n nb=12 n，即1nn aa=12 n.逐项相乘得：na=2) 12( 222) 12() 12(n，考虑到10=a，故 =2222) 12() 12() 12(1nna) 1()0(=nn.五、取倒数法五、取倒数法五、取倒数法五、取倒数法例 6已知数列na中，其中, 11=a，且当 n2 时，1211 +=nn naaa，求通项公式na。解将1211 +=nn naaa两边取倒数得：2111=nnaa， 这说明1na是一个等差数列，首项是111=a，公差为 2，所以1
6、22) 1(11=+=nnan，即121 =nan.六、取对数法六、取对数法六、取对数法六、取对数法例 7若数列na中，1a=3 且2 1nnaa=+（n 是正整数），则它的通项公式是na=（2002 年上海高考题）.解由题意知na0，将2 1nnaa=+两边取对数得nnaalg2lg1=+，即2lglg1=+nn aa，所以数列lgna是以1lga=3lg为 首 项 ， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ，121 13lg2lglg=nn naa，即123=nna.七、平方（开方）法七、平方（开方）法七、平方（开方）法七、平方（开方）法例 8若数列na中，1a=2 且2 13+=nnaa（
7、n2），求它的通项公式是na.解将2 13+=nnaa两边平方整理得32 12=nnaa。 数列 2 na 是 以2 1a=4 为 首 项 ， 3 为 公 差 的 等 差 数 列 。133) 1(2 12+=+=nnaan。 因 为na 0 ， 所 以13 +=nan。八、待定系数法八、待定系数法八、待定系数法八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变 成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、BAaann+=+1（A、 B 为常数） 型， 可化为+1na=A（+na）的形式.例 9若数列na中，1a=1，nS是数列na的前n项之和， 且nn nSSS431
8、+=+（n1） ， 求数列na的通项公式是na.解 递推式nn nSSS431+=+可变形为41311+=+nnSS（1）设（1）式可化为)1(311+=+nnSS（2）比 较 （ 1 ） 式 与 （ 2 ） 式 的 系 数 可 得2=， 则 有)21(3211+=+nnSS。 故数列21+nS是以3211=+S为首项，3 为公比的等比数列。21+nS=nn3331=。所以131 =nnS。当n2，1238332 231 231211+=nnnnnnnnSSa。数 列 na 的 通 项 公 式 是 += 123833212nnn na)2() 1(=nn。2、BAaann+=+1nC（A、B、
9、C 为常数，下同）型，可化为1 1+ +n nCa=n nCaA+(）的形式.例 10在数列na中，,342, 11 11 +=n nnaaa求通项公式na。解：原递推式可化为：)3(231 1 +=+n nn naa比较系数得=-4，式即是：)34(2341 1 +=n nn naa.则 数 列341n na是 一 个 等 比 数 列 ， 其 首 项53411 1=a，公比是 2.112534=nn na即112534=nn na.3、nnnaBaAa+=+12型，可化为)()(112nnnnaaAaa+=+的形式。例 11在数列na中，2, 121=aa，当Nn，nnnaaa6512=+求
10、通项公式na.解：式可化为：)(5(112nnnnaaaa+=+比较系数得=-3 或=-2，不妨取=-2.式可化为：)2(32112nnnnaaaa=+则21nnaa+是一个等比数列， 首项122aa=2-2 （-1）=4，公比为 3.1 1342 +=n nnaa.利用上题结果有：112534=nn na.4、CBnAaann+=+1型，可化为) 1(21211+=+naAnann的形式。例 12 在数列na中，231=a，12nnaa=63n求通项公式na.解式可化为：21121) 1()(2+=+nanann比较系数可得：1=-6，92=，式为12=nnbbnb是一个等比数列，首项299
11、611=+=nab，公比为21.1)21(29=n nb即n nna)21(996=+故96)21(9+=nan n.九、猜想法九、猜想法九、猜想法九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是： 首先利用所给的递推式求出123,a a a，然后猜想出满足递推式的一个通项公式na，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例 13 在各项均为正数的数列na中，nS为数列na的前 n 项和，nS=1(2na+1)na，求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法求递推数列通项的特征根法与不动点法求递推数列通项的特征根法与不动点法求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如一、形如21( ,nnnapaqap q
12、+=+是常数）的数列是常数）的数列形如形如112221,( ,nnnam am apaqap q+=+是常数是常数） ）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征，其特征方程为方程为2xpxq=+若若有二异根有二异根, ，则可令，则可令1212( ,nn naccc c=+是待定常数）是待定常数）若若有二重根有二重根=，则可令，则可令1212()( ,n nacncc c=+是待定常数）是待定常数）再利用再利用1122,am am=可求得可求得12,c c，进而求得进而求得na例例1 1 1 1已知数列na满足* 12212,3,32()nnnaaaa
13、anN+=，求数列na的通项na解：解：其特征方程为232xx=，解得121,2xx=，令1212nn nacc=+，由1122122243accacc=+= =+=，得1211 2cc=，112nna= +例例2 2 2 2已知数列na满足* 12211,2,44()nnnaaaaa nN+=， 求数列na的通项na解：解：其特征方程为2441xx=，解得121 2xx=，令()121 2nnacnc=+，由1122121()12 1(2)24accacc=+= =+=，得1246cc= =，132 2nnna=二、形如二、形如2n n nAaBaCaD+=+的数列的数列对于数列对于数列2n
14、 n nAaBaCaD+=+，* 1,( , , ,am nNA B C D=是是常数且常数且0,0CAD BC）其 特 征 方 程 为其 特 征 方 程 为AxBxCxD+=+， 变 形 为， 变 形 为2()0CxDA xB+=若若有二异根有二异根, ， 则可令则可令11nnnnaacaa +=（其其中中c是待定常数是待定常数） ，代入，代入12,a a的值可求得的值可求得c值值这样数列这样数列nna a 是首项为是首项为11a a ， 公比为公比为c的等的等比数列，于是这样可求得比数列，于是这样可求得na若若有二重根有二重根=，则可令，则可令111nncaa+=+（其中（其中c是待定常数是待定常数） ，代入，代入12,a a的值可求得的值可求得c值值这样数列这样数列1na是首项为是首项为1na，公差为，公差为c的的等差数列，于是这样可求得等差数列，于是这样可求得na此方法又称不动点法此方法又称不动点法例例 3 3 3 3已知数列na满足1 1 122,(2)21n n naaana+=+， 求数列na的通项na解：解：其特征方程为2 21xxx+=+，化简得2220x=，解得121,1xx=
