因式分解——十字相乘法

《因式分解——十字相乘法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解——十字相乘法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、因式分解的一点补充因式分解的一点补充十字相乘法十字相乘法关于 x2+（p+q）x+pq 这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系 数为 1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到 x2+（p+q）x + pq=（x+p）(x+q).练习练习：下列各式因式分解 1- x2+2 x+15 2 （x+y）2-8（x+y）+48； 3x4-7x2+18； 4x2-5xy+6y2。答：1-（x+3） （x-5） ； 2 （x+y-12） （x+y+4） ；3 （x+3） （x-3） （x2+2） ； 4 （x-2y） （x-3y） 。对于二次项系数不是 1 的

2、二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某 些形如 ax2+bx+c 的二次三项式因式分解。例例 1 把 2x2-7x+3 因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）：2=12=21； 分解常数项：3=13=31=（-3）（-1）=（-1）（-3） 。用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -32 3 2 1 2 -3 2 -1 13+21 11+23 1（-3）+2（-1） 1（-1） +2（-3）

3、=5 =7 = -5 =-7经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系 数-7。 解解 2x2-7x+3=（x-3） （2x-1） 。一般地，对于二次三项式 ax2+bx+c（a0） ，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之 积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a2，c1，c2排列如下：a1 c1a2 c2a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次项系 数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+

4、c1与 a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1） （a2x+c2） 。像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法。例例 2 把 6x2-7x-5 分解因式。分析：按照例 1 的方法，分解二次项系数 6 及常数项-5，把它们分别排列，可有 8 种不 同的排列方法，其中的一种2 13 -52（-5）+31=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。解解 6x2-7x-5=（2x+1） （3x-5） 。指出：通过例 1 和例 2 可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三 项式因式分解，往往要经过多次观察，才

5、能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是 1 的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如 何把常数项分解因数。例如把 x2+2x-15 分解因式，十字相乘法是1 -31 515+1（-3）=2 所以 x2+2x-15=（x-3） （x+5） 。例例 3 把 5x2+6xy-8y2分解因式。分析：这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次 项及常数项系数时，只需分解 5 与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组， 即1 25 -41（-4）+52=6解解 5x2+6xy-8y2=（x+2y） （5x-4y） 。指出：原式分

6、解为两个关于 x，y 的一次式。例例 4 把（x-y） （2x-2y-3）-2 分解因式。分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的 乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？答：第二个因式中的前两项如果提出公因式 2，就变为 2（x-y） ，它是第一个因式的二 倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次 三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。解解 （x-y） （2x-2y-3）-2=（x-y） 2（x-y）-3-2 1 -2=2（x-y）2-3（x-

7、y）-2 2 +1=（x-y）-2 2（x-y）+1 11+2（-2）=-3=（x-y-2） （2x-2y+1） 。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方 法。练习练习 1. 1用十字相乘法因式分解： （1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。2把下列各式因式分解： （1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b） （a-b）-6（a-b）2。答案

8、：1 （1） （x-4） （2x+3） ； （2） （x-2） （3x+1） ；（3） （2x-1） （3x-5） ； （4） （x-3） （7x+2） ；（5） （3x-1） （4x-3） ； （6） （2x+3） （2x+9） 。2 （1） （2x-3y） （3x-2y） ； （2） （2xy+5） （4xy-7） ；（3） （3x-y） （6x-5y） ； （4） （3a-b） （5b-a） 。小结小结 1用十字相乘法把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式分解因式时，应注意以下问题： （1）正确的十字相乘必须满足以下条件：a1 c1 在式子 中，竖向的两个数必须满足关系 a1a2=a

9、，c1c2=c；在上式中，斜a2 c2 向的两个数必须满足关系 a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。 ”（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中， a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中 的一次项的系数，c2是常数项。（3）二次项系数 a 一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变 形把它转化为正数） ，只需把经分解在两个正的因数。2形如 x2+px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。 3凡是可用代换的方法转化为二次三项式 ax2+bx+c 的多项式，有些也可以用十字

10、相 乘法分解因式，如例 4。练习练习 2. 1用十字相乘法分解因式： （1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6； （5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。2把下列各式分解因式： （1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6） 6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1） （y+2）-20（y+2）2。答案：

11、 1 （1） （2x+1） （x+1） ； （2） （y+2） （2y-3） ；（3） （2x-3） （3x-2） ； （4） （a-3） （3a+2） ；（5） （2x-3y） （3x-y） ； （6） （2m+n） （2m+3n） ；（7） （x-2y） （10x-y） ； （8） （2m-3n） （4m-5n） 。 2 （1） （2n-3） （2n+5） ； （2） （2a+5） （3a-7） ；（3） （x+1） （5x-13） ； （4） （x+3） （4x+3） ；（5） （3x-1） （5x+2） ； （6） （2y+5） （3y+2） ；（7）-（4y+5） （5y-4） ； （8） （x+2y+3） （7x-10y-27） 。