湖南大学课程考试试卷

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1、 湖南大学课程考试试卷 课程编号： ；课程名称： ；试卷编号： 1 ； 考试时间：120分钟 题号 一 二 三 四 总分 应得分 实得分 评卷人 评分： 第 2 页（共 6 页） 卷 考试中心填写： 年 1、一直径为 d，高度为 h 且有确定体积v的封闭圆柱形罐被设计用来装放饮料。 利用任一优化方法来设计其直径和高度的最优尺寸d和h，使得此罐的外表面（包括上下表面）的总面积最小。 第 1 页（共 6 页） 月 日 考 试 用 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 专业班级： 学号 姓名： 装订线（答案不得超过此线）说明 1本次考试为闭卷考试 2本试卷共

2、 5个题,请任选 4个必作题，每道题的分数是一致的。 第 3 页（共 6 页） 第 4 页（共 6 页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 3、利用 Hooke 和 Jeeves 方法求解函数22 12( )(100)(50)f xxx=+的最小点和最小值，初始点为150 80x=。运用步长120x=和210x=，并且在每一次搜索失败后，它们会被一个值为 0.5 的因子缩小。当17x及23x时程序停止运行。 装订线(答案不得超过此线） 2、 (a) 给出多变量无约束牛顿法的推导过程 (b) 用牛顿法求函数22 1212121( ,)14583f x

3、 xxxx xx=+的最小值，设初始点为T)0 0(。 第5页（共6页） 第6页（共6页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 5给出最小二乘法的表达公式，用一个具体工程实例的优化建模来说明 最小二乘法的工程应用。 装订线(答案不得超过此线）4、最速下降法被用来最小化一个目标函数)(xf。为以下各种情况给出在点1236xxx = 处的搜索方向。 (a)利用步长为 0.1 的向前有限差分法，目标函数的导数可以通过数值微分方法获 得，目标函数的值如下表所示： 2x ( )f x 5.9 6.0 6.1 2.9 47.71 44.27 40.96 3.0

4、71.27 67.00 62.87 1x 3.1 100.76 95.63 90.65 (b)目标函数为： 1222 21( )7()(1)f xxxx=+ (c) 实际上目标函数(a) 和 (b)是同一函数,讨论所得结果. 卷 湖南大学课程考试试卷 考试中心填写： 年 12 课程编号： ；课程名称： ；试卷编号： 2 ； 考试时间：120分钟 （1）（1）（a）一个自动探测臂设计成阶梯状悬臂梁的形式，其两圆形横截面的直 径和长度分别为1d ，1l 和2d ，2l 。通过优化梁的尺寸可以提高此自动臂的性能，如在承受给定外力 P 之下使之体积最小，并且满足如下条件 梁的整个长度等于L 梁自身重量

5、可被忽略 只有梁的弯曲应力造成的失效需要考虑，并且用到了安全系数s （梁的屈服强度为 y题号 一 二 三 四 总分 应得分 实得分 评卷人 评分： 第 2 页（共 4 页） ） 通过清楚地设定设计变量、目标函数和约束条件来描述此优化问题。 (b)假如（a）中的问题改变，如需优化此悬臂梁使之能承受最大的载荷 P，那么 这个问题将如何重新描述。 第 1 页（共 6 页） 月 20 日 考 试 用 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 专业班级： 学号 装订线（答案不得超过此线）说明 1本次考试为闭卷考试 2本试卷共 5个题,请任选 4个必作题，每道题的分数

6、是一致的。 姓名： 第 3 页（共 4 页） 第 4 页（共 4 页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 （2） 在一条生产计算机集成电路的生产线中，一焊线工程师认为废品率 f（每 100 件中的废品数目）与两个主要参数有关：焊线机的频率与焊接时间t。通 过改变参数（25 到 45 之间）和 t（16 到 24 之间），他收集到如下一组f的数 据。 f 25 30 35 40 45 16 10.7 10.0 9.5 8.8 9.2 18 10.2 9.3 8.6 7.8 8.1 20 9.7 8.8 7.8 6.9 7.2 22 9.3 8.2 7

7、.1 6.3 6.8 t 24 9.6 8.6 7.5 6.7 7.2 制造经理告诉他，考虑制造线内的生产平衡，在实际的生产中，他所用的焊 接时间t不能大于 20。基于表中的数据，运用二次近似来帮助她设计出最优的焊 接时间t和频率使之能最小化f，并且估计最小值f是多少。 （3） 利用 Hooke 和 Jeeves 方法求解函数 844),(21212 22 121+=xxxxxxxxf 的最小点和最小值，初始点为(0,0),初始步长为（1，1）并且在每一次搜索失败 后，它们会被一个值为 0.5 的因子缩小。当步长小于 0.1 是程序停止运行。 装订线(答案不得超过此线） 第 5页（共页） 第

8、6 页（共页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 (4)（a）给出多变量无约束牛顿法的推导过程 (b)用牛顿法求函数60410),(21212 22 121+=xxxxxxxxf的最小值，设初始点为T)0 0( (5) 利用共轭梯度法最小化函数1212 22 121434),(xxxxxxxf+=。初始点为T)0 0(. 下面给出了共轭梯度法的方向公式 ( )( )()()()()() ( )()()()( )()00111211 2,0,1,2,3,qqqqqqqsf xsf xsqf x where f x+=+= += = ?装订线(答案不得

9、超过此线）卷 湖南大学课程考试试卷 考试中心填写： 年 12 课程编号： ；课程名称： ；试卷编号： 3 ； 考试时间：120分钟 （1）给出单变量优化的二次插值法的推导过程（采用等插值点），并计算 xxfsin)(题号 一 二 三 四 总分 应得分 实得分 评卷人 评分： 第 2 页（共 4 页） =的近似极小点和极小值，已知 54 x 证明略 第1页（共6页） 月 20 日 考 试 用 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 专业班级： 学号 装订线（答案不得超过此线）说明 1本次考试为闭卷考试 2本试卷共5个题,请任选4个必作题，每道题的分数是一致

10、的。 姓名： 第3页（共 4 页） 第4页（共 4 页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 （2） 最小化 212 32 22 132312228 . 0)(xxxxxxxxxz+=x 在如下条件 7 . 00115. 11 . 12 . 13 . 12321321=+xxxxxxx（a）将该问题表达成标准式 （b）能否将该问题简化成一个两个参数的优化问题？ 如能请写出简化后的标准 优化表达 （c）用一个简单的实例说明优化参数个数对优化效率的影响 （3） 利用 POWELL 法最小化函数2 22 121)6()5(4),(+=xxxxf。初始点为T

11、)9 8(,收敛条件为01. 01kkXX装订线(答案不得超过此线） 第5页（共页） 第6页（共页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 （4）（a）给出多变量无约束牛顿法的推导过程 (b)用牛顿法求函数1212 22 121434),(xxxxxxxf+=的最小值，设初始点为T)0 0( 解： （5） 利用共轭梯度法最小化函数21212 22 12154),(xxxxxxxxf+=。初始点为T)0 0(.下面给出了共轭梯度法的方向公式 ( )( )()()()()() ( )()()()( )()00111211 2,0,1,2,3,qqqqqqq

12、sf xsf xsqf x where f x+=+= += = ?装订线(答案不得超过此线）卷 湖南大学课程考试试卷 考试中心填写： 年 12 课程编号： ；课程名称： ；试卷编号： 4 ； 考试时间：120分钟 （1） 在套管式换热器的设计中，整个管子长度被限制小于1。管子的造价是每单位长度2题号 一 二 三 四 总分 应得分 实得分 评卷人 评分： 第 2 页（共 4 页） ，套壁的造价可以通过2.5 3DL计算，D和L分别是换热器套壁的直径和长度。将冷液体抽入换热器的费用是每天4 52L d N,这里d和N分别是管子的直径和数量。传入冷液体的热能交换率为56 1.21.40.2NdLd

13、L+。 通过清楚地设定设计变量、目标函数和约束条件来描述此优化问题。目标 为最小化此换热器的整体费用，约束条件是热能交换率要大于7。换热器的期望寿命是8年。假设1，2，8 为已知常数，并且在换热器横截面上每一个管子都占据了2d大小的面积。 第 1 页（共 6 页） 月 20 日 考 试 用 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 专业班级： 学号 装订线（答案不得超过此线）说明 1本次考试为闭卷考试 2本试卷共 5个题,请任选 4个必作题，每道题的分数是一致的。 姓名： 第 3 页（共 4 页） 第 4 页（共 4 页） 湖 南 大 学 课 程 考 试

14、卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 （2） （a）一个优化问题包含如下的约束等式： 222 123( )10h xxxx=+ = 然而，所用软件不能处理等式约束，请将此等式约束转化为一组等效 的不等式约束。 (b)计算下列包含 4 个变量问题的目标函数和约束方程在2 3 3 4x = 处的梯度矢量。 222( )2357f x=+ 22 1( )339g x=+ 2( )5gx= 2 1( )2715h x=+ （3） 利用 Hooke 和 Jeeves 方法求解函数22 12( )(100)(50)f xxx=+的最小点和最小值，初始点为150 80x=。运用步长120x=和210x=，并且在每一次搜索失败后，它们会被一个值为 0.5 的因子缩小。当17x及23x时程序停止运行。 装订线(答案不得超过此线） 第5页（共页） 第6页（共页） 湖 南 大 学 课 程 考 试 卷 湖 南 大 学 教 务 处 考 试 中 心 （4） 用最速下降法和牛顿法分别最小化函数2 22 1214),(xxxxf+=，初始点为T)2 2(，比较并讨论二者的效率。 5.给出最小二乘法的表达公式，用一个具体工程实例的优化建模来说明 最小二乘法的工程应用。 装订线(答案不得超过此线）