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1、 1 笔者前语笔者前语笔者前语笔者前语： 因为解答题都有详细解答因为解答题都有详细解答因为解答题都有详细解答因为解答题都有详细解答，为节省时间为节省时间为节省时间为节省时间（主要是编者比较懒主要是编者比较懒主要是编者比较懒主要是编者比较懒） ，） ，） ，） ，故只对没有故只对没有故只对没有故只对没有 详解的选择和填空进行了解析详解的选择和填空进行了解析详解的选择和填空进行了解析详解的选择和填空进行了解析。因编者能力有限因编者能力有限因编者能力有限因编者能力有限，不足与缺陷之处请多包涵不足与缺陷之处请多包涵不足与缺陷之处请多包涵不足与缺陷之处请多包涵。 如有任何疑义或更好解法如有任何疑义或更好
2、解法如有任何疑义或更好解法如有任何疑义或更好解法，请读者老师上传请读者老师上传请读者老师上传请读者老师上传，大家一起进步和提高大家一起进步和提高大家一起进步和提高大家一起进步和提高。也可联系也可联系也可联系也可联系 笔者笔者笔者笔者： 王凯王凯王凯王凯，世纪城校区世纪城校区世纪城校区世纪城校区，邮箱邮箱邮箱邮箱：。请支持请支持请支持请支持与尊重与尊重与尊重与尊重原创原创原创原创 作品作品作品作品，谢谢谢谢谢谢谢谢。 北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2012.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分
3、）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分第一部分第一部分第一部分（选择题选择题选择题选择题 共共共共 40 分分分分） 注意事项注意事项注意事项注意事项：考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效在试卷上答无效在试卷上答无效在试卷上答无效。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1.已知平面向量(3,1)=a，( ,3)x=b， 且ab， 则实数x的值为 （ ） A9 B1 C1 D 9 【解析】 ：03301aba bxx =+ =,
4、选 C 2.设集合 U = 1,2,3,4， 25M = xU xx+ p=0，若 2,3UC M =，则实数p的值 为 ( ) A4 B 4 C6 D6 【解析】 ：由条件可知 1,4 是25xx+ p=0 的两根,则1 44p = = = = =选 B 3. 设数列 na是公差不为 0 的等差数列，11a =且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS等于 （ ） A 27 88nn+ B27 44nn+ C23 24nn+ D2nn+ 【解析】 ：11a =且2 3161 4aa ad=,27 88nnnS=+选 A 2 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A1 B
5、1 C 2 D0 【解析】 ：循环运算可得选项 D。 5.已知函数( )sin3cosf xxx=+，设()7af=，()6bf=，()3cf=，则, ,a b c的大小关系是 （ ） A. abc，经过 6 次操作后扩充所得的数为(1) (1)1mnqp+（,m n为正整数） ，则,m n的值分别为_. 【解析】 ：第一次扩充：, ,(1)(1)1p q qp+, 第二次扩充：2,(1)(1)1,(1)(1)1q qpqp+, 第三次扩充：223(1)(1)1,(1)(1)1,(1) (1)1qpqpqp+, 第四次扩充：22335(1)(1)1,(1) (1)1,(1) (1)1qpqpq
6、p+, 5 第五次扩充：233558(1) (1)1,(1) (1)1(1) (1)1qpqpqp，+, 第六次扩充：3558813(1) (1)1(1) (1)1(1) (1)1qpqpqp，+。所以,m n的值分别为 8 和 13。 （寻找规律寻找规律寻找规律寻找规律，每次扩充后每次扩充后每次扩充后每次扩充后新数新数新数新数的的的的1),(1)pq（ +项的指数满足斐波那契数列项的指数满足斐波那契数列项的指数满足斐波那契数列项的指数满足斐波那契数列性质性质性质性质） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分 13 分） 在锐
7、角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所 对的边，且满 足32 sin0abA= （）求角B的大小； （）若5ac+=，且ac，7b =，求AB ACuuu r uuur?的值 （15） （本小题满分 13 分） 解： （）因为32 sin0abA=， 所以3sin2sinsin0ABA=， 2 分 因为sin0A，所以23sin=B. 3 分 又B为锐角， 则3B=. 5 分 （）由（）可知，3B=因为7b =， 根据余弦定理，得 2272cos3acac=+，7 分 整理，得2()37acac+= 由已知 5ac+=，则6ac = 又ac，可得 3a =，2c = 9 分 于是2227
8、497cos2144 7bcaAbc+=， 11 分 所以7coscos27114AB ACAB ACAcbA=uuu r uuuruuu r uuur? 13 分 6 16. （本题满分 13 分） 如图， 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域 用力旋转转盘， 转盘停止转动时，箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动） ， 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为( , )a b（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动） （）求某个
9、家庭得分为(5,3)的概率？ （）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于 8 的家庭可以获得一份奖品请问某个家庭获奖的概率为多少？ （）若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动在（）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望 （16） （本小题满分 13 分） 解： （）记事件 A：某个家庭得分情况为(5,3) 111( )339P A = 所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为1 9 4 分 （） 记事件 B： 某个家庭在游戏中获奖， 则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5) 共 3 类情况 所以1111111( )3333333P B =
10、+= 所以某个家庭获奖的概率为1 3 8 分 （）由（）可知，每个家庭获奖的概率都是1 3，所以1(5, )3XB 005 51232(0)( )( )33243P XC=，114 51280(1)( )( )33243P XC=，223 51280(2)( )( )33243P XC=，332 51240(3)( )( )33243P XC=，5 5 3 2 3 2 A 7 441 51210(4)( )( )33243P XC=，550 5121(5)( )( )33243P XC=. 11 分 所以X分布列为： X0 1 2 3 4 5 P32 24380 24380 24340 243
11、10 2431 243所以15533EXnp= = 所以X的数学期望为5 3 13 分 17. （本题满分 13 分） 如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD底面ABCD为矩形， 2 ,3ADa ABa=，SASDa= （）求证：CDSA； （）求二面角CSAD的大小. （17） （本小题满分 13 分） 证明： （）因为平面SAD 平面ABCD， CDAD，且面SADI面ABCDAD=， 所以CD平面SAD. 又因为SA平面SAD 所以CDSA 6 分 （）由（）可知，CDSA. 在SAD中，SASDa=，2ADa=， 所以SASD， 所以SA平面SDC. 即SASD，SASC,
12、 所以CSD为二面角CSAD的平面角 在Rt CDS中，3tan3CDaCSDSDa=， 所以二面角CSAD的大小3 13 分 法二：取BC的中点E, AD的中点P 在SAD中，SASDa=，P为AD的中点，所以，SPAD 8 又因为平面SAD平面ABCD，且平面SADI平面ABCDAD= 所以，SP平面ABCD显然，有PEAD 1 分 如图，以 P 为坐标原点，PA 为 x 轴，PE 为 y 轴，PS 为 z 轴建立空间直角坐标系， 则2(0,0,)2Sa，2(,0,0)2Aa， 2(, 3 ,0)2Baa，2(, 3 ,0)2Caa， 2(,0,0)2Da 3 分 （）易知22(0,3 ,0),(,0,)22CDaSAaa=uuuruur因为0CD SA=uuu r uur， 所以CDSA 6 分 （）设( , , )x y z=n为平面CSA的一个法向量，则有00SACA=uuruuu rnn， 即22022 230axazaxay= =，所以( 3,2, 3)=n 7 分 显然，EP平面SAD，所以PEuuu r 为平面SAD的一个法向量， 所以(0,1,0)=m为平面SAD的一个法向量
