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1、数学随笔 中学数学文摘 2006 年第 2 期11甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲问题问题 三个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？一般同学解这个问题多用列举法，即把可能出现的传球方式一一列举出来。解解 若第一次传给乙，传球方式可能出现的情况如右图，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，不同的传球方式有 5 种；若第一次传给丙，则又有 5 种；故共有 10 种不同的传球方式。下面用递推法解决这个问题。设第次将球传给甲的方式有()k kN种，传次球共有种不同的传法，这kak2k种传法中，有种传法的第次不2k2kkak是
2、传给了甲，而第次没有传给甲时，在第k次传球时可传给甲，故第次传给1k 1k 甲的传法。12kkkaa令，则代入上式，2k kkab 1 112k kkab 并整理得。111 22kkbb 变形得，1111()323kkbb 是公比为的等比数列，显然，。13kb 1 210a 1 1102ab 所以11 111111()(),1 ().33232kk kkbbb 得。1122( 1)3kk ka 当时，。5k 44 522( 1) 103a 下面将此问题推广到一般情况：个人互相传球， （） ，甲先发球，并作为第一次传球，经过次（）传球m2m n2n 数学随笔 中学数学文摘 2006 年第 2 期12后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法有多少种？设第次传给甲的方式有种，由前面分析可知。()k kNka1(1)kkkama令，得，变形得。(1)k kkabm1(1)1kkmbb1111()1kkbbmmm 是公比为的等比数列。1kbm1 1m，显然，1 1111()()1k kbbmmm1 10(1)abm所以。得。1111()1k kbmmm 111(1)( 1)kk kmbmm 于是。1(1)11 ()1k k kmamm 即。111(1)( 1)kk kmamm 当时，kn111(1)( 1).nn nmamm （柯正柯正摘自数学通讯2006 年 1 月第 1 期）
