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1、数学随笔 中学数学文摘 2006 年第 2 期11甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲问题问题 三个人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式有多少种?一般同学解这个问题多用列举法,即把可能出现的传球方式一一列举出来。解解 若第一次传给乙,传球方式可能出现的情况如右图,经过 5 次传球后,球仍回到甲手中,不同的传球方式有 5 种;若第一次传给丙,则又有 5 种;故共有 10 种不同的传球方式。下面用递推法解决这个问题。设第次将球传给甲的方式有()k kN种,传次球共有种不同的传法,这kak2k种传法中,有种传法的第次不2k2kkak是
2、传给了甲,而第次没有传给甲时,在第k次传球时可传给甲,故第次传给1k 1k 甲的传法。12kkkaa令,则代入上式,2k kkab 1 112k kkab 并整理得。111 22kkbb 变形得,1111()323kkbb 是公比为的等比数列,显然,。13kb 1 210a 1 1102ab 所以11 111111()(),1 ().33232kk kkbbb 得。1122( 1)3kk ka 当时,。5k 44 522( 1) 103a 下面将此问题推广到一般情况:个人互相传球, () ,甲先发球,并作为第一次传球,经过次()传球m2m n2n 数学随笔 中学数学文摘 2006 年第 2 期12后,球仍回到甲手中,则不同的传球方法有多少种?设第次传给甲的方式有种,由前面分析可知。()k kNka1(1)kkkama令,得,变形得。(1)k kkabm1(1)1kkmbb1111()1kkbbmmm 是公比为的等比数列。1kbm1 1m,显然,1 1111()()1k kbbmmm1 10(1)abm所以。得。1111()1k kbmmm 111(1)( 1)kk kmbmm 于是。1(1)11 ()1k k kmamm 即。111(1)( 1)kk kmamm 当时,kn111(1)( 1).nn nmamm (柯正柯正摘自数学通讯2006 年 1 月第 1 期)