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1、第一章第一章 行列式行列式1.4 克莱姆法则克莱姆法则11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xb a xa xaxba xaxa xb+= += +=+= += += 设线性方程组设线性方程组:若常数项若常数项 b1, b2, , bn不全为零，不全为零， 则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;若常数项若常数项 b1, b2, , bn全为零，全为零， 此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.1. 齐次与非齐次线性方程组的概念齐次与非齐次线性方程组的概念:2. 克莱姆默法则克莱姆默法则:如果线性方程组如果线性方程组
2、:111122112112222211221 ( )nnnnnnnnnna xa xa xb a xa xaxba xaxa xb+= += +=+= += += 的系数行列式不等于零，即：的系数行列式不等于零，即：1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa=122 123,.n nDDDDxxxxDDDD=其中其中, Dj为：为：11111111111,.jjnjnn jnn jnnaabaaD aabaa+= = 那么线性方程组那么线性方程组 (1)有解，并且解是唯一的，解可以表为有解，并且解是唯一的，解可以表为:证明证明: () ()()() ()()111122111
3、121122222221122nnjjnnjjnnnnnnjnnja xa xa xAb Aa xa xaxAb Aa xaxa xAb A+= += +=+= += += 12,jjnjDjAAAn用中第列元素的代数余子式依次乘方程组(1)的个方程得:用中第列元素的代数余子式依次乘方程组(1)的个方程得:在把在把n个方程依次相加，得个方程依次相加，得:11 1111,nnnnkkjkjkjjknkjnkkj kkkka Axa Axa Axb A=+=+=()()0,;jixDxij由代数余子式的可知,上式中的系数等于而其余的系数均为由代数余子式的可知,上式中的系数等于而其余的系数均为.jD
4、又等式右端为于是：又等式右端为于是： () ( )() ( )1 22, ,jjDxDjn=122 123,.n nDDDDxxxxDDDD=当当 D0 时时, 方程组方程组 (2)有唯一的一个解有唯一的一个解:由于方程组由于方程组 (2)与方程组与方程组 (1)等价等价,故也是方程组的故也是方程组的 (1)解解.3. 齐次线性方程组齐次线性方程组的相关定理的相关定理:( )( )1111221211222211220 020nnnnnnnnna xa xa x a xa xaxa xaxa x+= += +=+= += += 1) 定理定理: 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 (2)的系
5、数行列式的系数行列式: D0, 则齐次线性方程组则齐次线性方程组(2)没有非零解没有非零解.2) 定理定理: 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)有非零解有非零解, 则它的系数行列式必为零，即则它的系数行列式必为零，即: D=0.例例1: 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组:12341242341234258 369 225 4760, , , .xxxx xxx xxx xxxx+= =+= +=+= =+= +=解解:6741212060311512=D212rr+24rr+12770212060311357012772121357 = =212cc+ +232cc+ +27701
6、0353 2733=,27= =67402125603915181=D,81= =67012150609115822=D,108= =60412520693118123=D,27= =07415120903185124=D,27= =, 327811 1=DDx, 4271082 2=DDx, 127273 3=DDx. 127274 4=DDx例例2: 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组:123424123412343523 344 11 6 325 6, , , .xxxx xx xxxx xxxx+= +=+= +=+= +=+= +=解解:2311111140301253=D67
7、= =, 0 23165111611403412531=D,367= =23651116111404012332=D, 0= =26511161111443013533=D,267= =65311611111403032534=D,67= =,DDx31 673671 1=,DDx06702 2=,DDx21 672673 3=. 167674 4=DDx有非零解？有非零解？解解: = = 111132421 D + = + = 101112431()()()()()()()()()()+=+=31214313()()()()312123+=+=齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则 D=0,所以所以 =0, =2 或或 =3时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.() () ()() () ()1231231231240 230 10, , ,xxx xxx xxx +=+=+= +=+=+=例例3: 问问 取何值时取何值时, 齐次方程组齐次方程组:
