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1、与：与：00=0,01=0,10=0,11=100=0,01=0,10=0,11=1或：或：00=0,01=1,10=1,11=100=0,01=1,10=1,11=1非：非：布尔代数的基本运算布尔代数的基本运算布尔代数的基本运算布尔代数的基本运算01 , 10第2章逻辑函数及其化简第2章逻辑函数及其化简第第第第2 2 2 2章章章章逻辑函数及其化简逻辑函数及其化简逻辑函数及其化简逻辑函数及其化简一、布尔代数一、布尔代数一、布尔代数一、布尔代数布尔代数的计算公式布尔代数的计算公式布尔代数的计算公式布尔代数的计算公式1、代入规则2、反演规则3、对偶规则1、代入规则2、反演规则3、对偶规则布尔代数
2、的三个规则布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等式等式中所有出现此中所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立。，则此等式依然成立。例例例例1 1：AB= A+BBCBC替代替代B B得得ABCABCABC 由此反演律能推广到n个变量：由此反演律能推广到n个变量：12 n12 n12 n12 nA A AAAAAAAAAA利用反演律1、代入规则1、代入规则2、反演规则2、反演规则设设x原变量，称为反变量原变量，称为反变量x将一个逻辑函数将一个逻辑函数 F 进行下列变换
3、：进行下列变换：， ， ；0 1，1 0 原变量 反变量，反变量 原变量。所得新函数表达式叫做原变量 反变量，反变量 原变量。所得新函数表达式叫做F的反函数，用表示。的反函数，用表示。F注意：注意：用反演规则求反函数时，不能改变运算次序。F=AB(C+D)(B)2 +C+D例FAB(CD)(BCD)ABCDBCDABCDCDF=AB+CD(A+D3BC+ )例 FABCD(ABCD)ABCDA(BCD)3、对偶规则3、对偶规则cabacbcaba)()()(cabacbcaba对偶将一个逻辑函数将一个逻辑函数 F进行下列变换：进行下列变换：， ， 0 1，1 0 所得新函数表达式叫做所得新函数
4、表达式叫做F 的对偶式，用的对偶式，用 FD 表示。表示。F=AD+BE4 C+D例DF(AD)(BC(DE)(AD)(BCDE)ABACBDCDDE F=A+5B+C D 例DF =ABCD=AC+BC+D组合电路x1 x2xnz1 z2zm输入变量输出变量（自变量）（因变量）12( ,)1,2,iinZf x xxim逻辑函数（逻辑表达式）逻辑函数（逻辑表达式）二、逻辑函数二、逻辑函数二、逻辑函数二、逻辑函数例例例例6 6 6 6 三人表决电路zabcabcabcabc zabacbcz(abc)(abc)(abc)(abc) 规则：规则：规则：规则：（1）a、b、c同意为同意为1，不同意
5、为，不同意为0；（；（2）议案通过）议案通过z=1，不通过，不通过z=0；（；（3）少数服从多数。）少数服从多数。真值表真值表结论：结论：相同逻辑的真值表是唯一的，但是 可以用不同的逻辑表达式描述。相同逻辑的真值表是唯一的，但是 可以用不同的逻辑表达式描述。例7 一位二进制全加器例7 一位二进制全加器iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiciycixyxciyxciyxciyxciyxcociyxciyxciyxciyxciyxFAcoixi yi cii例例8 由异或门构成的码组A变换成码组B的电路如图所示。 （1）试写出电路的逻辑方程，列出真值表，讨论其逻辑
6、功能，并指出码组B的特性； （2）如果要把码组B反变换为码组A，试写出相应的逻辑方程组，并用最少的门电路（包含异或门）实现之。答：答：答：答：（1）逻辑方程：真值表逻辑功能：3位自然二进制码到格雷码变换器。 码组B特性：循环性和反射性。22112001B =AB =AAB =AA（2）码组B反变换为码组A，逻辑方程组221210210210210212112120210210210210210102101021021021001A =BA =B B BB B BB B BB B B=B B +B B=BB=BAA =B B BB B BB B BB B B=B (B B +B B )+B (B
7、 B +B B )=B (BB )+B (BB )=BBB=BA逻辑电路z(a,b,c)abacab(cc)a(bb)c abcabcabcabc与或式（积之和表达式）与最小项表达式与或式（积之和表达式）与最小项表达式与或式（积之和表达式）与最小项表达式与或式（积之和表达式）与最小项表达式与或式与或式：逻辑表达式为几个与项的和称为与或式（有些书上称为积之和表达式）。 最小项：最小项：在一个n个自变量的逻辑函数中，最小项是包含着n个变量的一个“与项”，在此“与项”中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次。 最小项表达式：最小项表达式：当与或式中所有与项均为“最小项”时称为最小项表达式。例例例例
8、9 9或与式（和之积表达式）和最大项表达式或与式（和之积表达式）和最大项表达式或与式：或与式：逻辑表达式为几个或项的积称为逻辑表达式为几个或项的积称为或-与式或-与式（又称为（又称为和之积表达式和之积表达式）。）。最大项：最大项：在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的或项，在此或项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，此或项称为最大项。最大项表达式：最大项表达式：当或与式中所有或项为最大项时称为最大项表达式。z(a,b,c)(abc)(abc)(abc)(abc) 例例10)5 , 4 , 2 , 0(M) cba)(cba)(cba)(cba (z)7 , 6 , 3 , 1 (
9、mabccabbcacbaz真值表和最小项、最大项的关系真值表和最小项、最大项的关系真值表和最小项、最大项的关系真值表和最小项、最大项的关系逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式是唯一的。例例例例1111最小项表达式与最小项表达式与最小项表达式与最小项表达式与最大项表达式的关系最大项表达式的关系最大项表达式的关系最大项表达式的关系z(a,b,c,d)M(4,5,6,12,13,15)z(a,b,c,d)m(4,5,6,12,13,15)z(a,b,c,d)M(0,1,2,3,7,8,9,10,11,14) 有：z(a,b,c,d)m(0,1,2,3,7,8,9,10,11,14) 已知：例例12
10、（由若干逻辑图形符号构成的电路图）与-或式对应的逻辑图与-或式对应的逻辑图或-与式对应的逻辑图或-与式对应的逻辑图zabacab acz (a b)(a c) (a b) (a c) 三、逻辑图三、逻辑图三、逻辑图三、逻辑图逻辑化简的方法：逻辑化简的方法：逻辑化简的方法：逻辑化简的方法：公式法：公式法：直接用布尔代数公式图解法：图解法：用卡诺图，适用于变量数少于6个的情况。计算机辅助化简：计算机辅助化简：如用EWB仿真软件。四、逻辑化简四、逻辑化简四、逻辑化简四、逻辑化简bacbabcbaabcz1cabcababcbaabcbcaabz)(3用公式法化简下列逻辑函数用公式法化简下列逻辑函数公
11、式法化简的缺点：公式法化简的缺点：不直观，要求经验、技巧较高。1. 1. 公式法公式法公式法公式法例例13（1 1 1 1）真值表与卡诺图真值表与卡诺图真值表与卡诺图真值表与卡诺图三变量情况：三变量情况：12. 2. 卡诺图法卡诺图法卡诺图法卡诺图法四变量情况：四变量情况：（2 2）表达式与卡诺图）表达式与卡诺图）表达式与卡诺图）表达式与卡诺图与或式与卡诺图与或式与卡诺图F1111111000010110100ABCF2110011101010110100ABCCBABF CBAF21或与式和卡诺图或与式和卡诺图z(ab)(ac)(ab)例例14F(A,B,C,D)= m(3,4,5,6,8,
12、10,12,14)DADB CDBACBAF(A,B,C,D)=ABCD+ABC+BD+AD把逻辑函数最简的与或表达式最简的与或表达式化简为最简“与或”式（即积之和表达式）（3）卡诺图化简）卡诺图化简例例例例1515F(A,B,C,D)=M(1,6,11,12)ABCD011011111111ABCABC0001111000011011B D1001ACDACDACDACDBDABCABCFBDACDABCACDABCFBDACDABCACDABC(4) 未完全规定的逻辑函数及其化简未完全规定的逻辑函数及其化简函数自变量的某些输入组合不会出现，因此，对应的输出可以任意取0或1（记作），这些称为
13、无关项或任意项或约束项。这类函数称为未完全规定的逻辑函数。例例例例1616四舍五入电路真值表四舍五入电路真值表四舍五入电路真值表四舍五入电路真值表3210z(b ,b ,b ,b )m(5,6,7,8,9)d(10,11,12,13,14,15) 3210z(b ,b ,b ,b )M(0,1,2,3,4)D(10,11,12,13,14,15) d(10,11,12,13,14,15)0D(10,11,12,13,14,15)1约束方程：或逻辑表达式：逻辑化简：021230123),(bbbbbbbbbz逻辑图用卡诺图化简下一逻辑函数成为最简积之和表达式（即最简“与或”式）。例例例例1717
14、F(A,B,C,D)=m(0,2,9,11,13)+d(4,8,10,15)BD ADF(A,B,C,D)ADBD最简的与或表达式例例例例1818用卡诺图求出逻辑函数用卡诺图求出逻辑函数F(A,B,C,D)=M(0,4,5.14.15) D(6,9,10,12,13)的最简与或式及最简或与式。的最简与或式及最简或与式。F=AC+AC(AB)+BD=(B+C)(A+B)(A+C+D)或例例例例19 19 如图所示是一奇偶检测电路，其输入信号A3、A2、A1、A0为8421BCD码的一位十进制数，若A3、A2、A1、A0中有偶数个1，输出Z=1，否则，Z=0。 （1）画出该电路的真值表； （2）写
15、出该电路的最小项表达式； （3）用卡诺图法求其最简与或 表达式和无逻辑险象的最简 与或表达式。真值表真值表A3A2A1A0Z0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 0 0 1 x x x x x x答：（1）（2）最小项表达式3210Z(A ,A ,A ,A )m(0,3,5,6,9)d(10,11,12,13,14,15) （3）卡诺图3210A A A A210A A A210A A A210A A
