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1、第1 8卷1980年第2期5月测绘学报A CTAGEOD E TIC AetC A RTO GR APH IC ASIN ICAVol.18一No.2May,1989经 典误差理论与抗差估计周江文(中国科学院测量与地球物理研究所)提要六十年代数学家重新 从广泛的意义上提 出非最小二乘法的估计问题,并已在抗差估计中取得重要的进展。本文试图从等价权 出发,提出一种有效的估计方案,包括方 差 估计,全文立 论多处借用了经典最小二乘理论。通过一个小算例,此方案和另外几种方案作 了试比较,结果较好。一、粗差与抗差估计抗差估计(Robustestimation,有人译“稳健估计”等)从六十年代正式提出,至
2、今已有廿余年,数学家在这方面做了许多开拓性的工作,它的应用正在逐步扩大,其中测量将是一个重要的方面。数学家提供一定假设下的严密理论,适当应用于测量实际,可望得到有效的估计方法。抗差估计的提出是与粗差(Ou tl i er,有时用Gr o sse rro r)相联系的。粗差指离群的误差,由失误、观测(函数)模式差、分布模式差而来,它实际不可避免。观测模式差这里指局部性的,对全局性的系统差,没有有效的估计方法。就结果而言,观测模式比估计方法更重要。测量上可取Ga us s一Ma rko v 模式为正常分布模式。通常观测数n与未知量数,相差不很大。小误差不可分辨,因此粗差实际指较大的局部偏离正常模式
3、的误差。所谓抗差估计,实际是在粗差不可避免的情形下,选择估计方法使未知量估值尽可能减免粗差的影响,得出正常模式下的最佳估值。抗差估计也包括方差估计和假设检验。最小二乘估计为粗差所吸引,使未知量估值偏离,又由于粗差的存在,方差估值往往偏大。但在正常分布模式下,此法具有优越的数学和统计性能。因此一个有效的估计方法,必须尽量保留最小二乘法 的优越性,同时增强其抗差性。子样应有一定的代表性,这是问题(包括模式)的全部根据所在。二、等价权设有观测子样x,设相互独立,观测权P,由1至n.(化为单位权误差)其经验概率密度可写成g(x)=户,占(x一x)P(l)其中为求和符号,求和指数i常略去,如分母月,分子
4、因x ,区别于x,故保 留指 数。*本文19 88年l月4日收到。侧绘学报18卷占(x一x)为集中于x,的D ir ae函数。M M估计是要由观测x,求参量今的估值,j由1至“,余差 ”,.求e,的条件是fp(”)g(x)dx或。pl就口s极小(2)或厂日P厂/aPI a口lr_ 日v飞 Lp一丽丁 =L户气丽刁万瓦一”礼“w万百丁”=u(3)其中p是挑选的极值函数。式( 3)是估值方程,直接解算往往很困难。但它可以变化的形式改写为尸V 二 A,PV= 0(4)_ a粉i.万石万”.百石 万箭箫/月. .le s .jl几一一钊犷一n口肉d以一刁 中其P=(户;),户,I D,称为权因子。式(
5、 4)可看作最小二乘解的法方程,/ 口PI、 =p*气丽万),=尹切(5)相应观测方程AO二X+V等价权尸 移m形1”1”1(6)计算尸要知道夕,它可取用适当的近似值,权的精度要求不高。我们称尸为等价权,因为取它作为观测方程(6 )的权所得出的法方程,正是估值方程(3).这样利用等价权户可将MM估计化为最小二乘括计、迭无论在计算、估算方案制定上都带来很大的便利。我们将充分利用它。-通过权因子,可以对不同的极值函数p进行对比。反之,若规定了权因子,也可以找出相应的极值函数。下面列举几种通常有效的估计方案。1,a 0为观测中误差,人为倍数。极值函数娜这里作了适当的改化公在 ,!=无几时,权因子均为
6、最小二乘法绝对和极小一种Huber方案l沪/2人a 0权因子,l(7) 丛树.、母孺v 凡a 0:Iv!人a 0:。2/2左a 0!vl一(气a 0)2(8)(9)Fair函数2(、a 0)2箫一1(1+箫)(10)。2/2,!。1人九一(,2:+、!)二p(一姗+1)其它,川1,_Z !“!_.、 ,e xp、而万一z(1 1)!、 . .L麦法丹2期周江文:经典误差理论与抗差估计。作迭代计算,权因子累乘因子exp一鲁)、, .0,取等价权作为已知值,经典公式可近似用于估算单位权方差a l及平差函数的积差。按4pp.4 4一48,注意p是近似权,p 二(入。),而。=。二=( 牛、是观测权逆
7、,则可得、 严 资I心 之V,尸Vn一打忿(不计淘汰观测)(12)Q。*C一二A/PQPAC一=C一A/歹A C一,万=(户*w圣)Q,。亡刀Q。B,例如观测平差值Y=AO,则Oy二A C一A户AC一A式 中C = =A产尸A.(13)(14)(15)三、抗差方案的选择I GG方案从上节列举的几种估计方案看,一个有效的抗差方案应作如下考虑。有一界限左a 0,川在限内采用最小二乘法,权因子为1;限外权因子随”的增大 由l逐渐减小。绝对和极小解的最简单情形联系于中位数,正负余差权之和相等。观测变动只须保持所有余差符号不变,解不受影响,因此具有优越 的抗差性。抗差理论证明,它的影响函数(In-flu
8、 eneefunetion)绝对值不变(不因粗差而异);其崩溃污染率(Bre ak downpoint)为极大值l/2(污染率在此限内,估值在界内)。这和最小二乘解(平均值)相比,具有明显的优越性。但由界限左a 0向内,权因子由1无限增大,这与观测权大大不符。从测量误差理论来看,界限凡a 0之人可取1.5(按正态分布,误差在士1.5几以外的概率仅为0.13 ),限外之观测既不能完全否定,又要限制其有害作用,采用抗差权因子l+b(16)以降低观测权是可取的。式中b取正值。当余差超出士2.5a 0时(正常模式下,概率为0.01 ),在观测模式可用的情形下,不应作为观测信息,即取却=0 ( 从抗差估
9、计看,粗差也不能过大)。如按绝对和 方 案(8 ),当1。=2.5a 0时,w仅达3/ 5,权因子缩小嫌慢。式(16)求导数,器-l一Iv!/人丙(l+b】。/人a 0)2恒负。因此加大b可使w减小,l im切二 I。 / 人a。即(8 )已是减小最甚的因子。Fa lr函数不设界限,小。之权与观测权不符,但最大权因子为2丹麦法权因子采用e xp(; 一黑),且在迭代计算中累乘因子,、飞.01,优于绝对和法。没有抗差上的论证,它实质上是淘汰法。综上所述,我们的结论是:余差在士15a 0以内,采用原观侧权,即此段用最小二乘法;士2.5a 0以外,观测不用,即淘汰法,在 中间段士l.sa o士2.5
10、a 0之间(包括士2.5a 0)按绝对和1 18测绘学 报1 8卷_一一-一一一一一一一一一- 一一- - 一极小取权因子=l I”I/凡a。与 作为抗差措娜,这个方案以珑为GG方案.为了防止余差的显著偏禽,在提供余差的平差中应避免孤立的观测,丢掉可疑的观测,必要时计算J,= A(A了pA)一A产p4,其对角元素杠杆点Le ve ra geP oi nO,也可作少数几次迭代计算j近于1时,对应之观测应丢掉(即所谓1GG方案权因子之间变化比较乎缓,临界概率密度应小,因此左的规定及余差值的小变动影响不大。四、算一测角网如图,等权测角1 8个(n ),A、B、C、D为已知点,P l、P a为未知点,
11、未知量数,= 4.观测数据取自测量平差基础P P.28 2.计算结果取自陆晓鸣同志的研究生论文。观测方程如下:占xl占yl占x:占夕昌0 00 0 0 0钾4 75 8 3 0 0 0 3 0 3 04 7 8 91 93 0 8 90 00 00 0一5。2。3.0。18一1。2.一2。一0.一2。2。0。0。3。一3。3。0。3.一2。5.一3.一2。一0.2.0。一2。2。4.一8。一l。一1。一0。一l。2.O。2.一3。3几一4。1。一2.3.一0。一2.O。l。一0。2 00。603.10一0.900.5 02.60一3。108.50一1.901.202.90一3。3 0一4.0
12、0一8.5013.20一9.6010.70一3.100 00 0 0 05 3 3 32 04 5 6 5 2 02 9 3 36 21 70 0 6 2 4 50 0 0 03 2印0 00 0 0 00 0 0 00 08 93 22 18 96 0姆4 09 9 5 06 1拐1 5时0 00 0 0 00 04 6 0 0 6 21 62 9 2 9 6 2 3 34 4场未知量的权逆阵O二= C一如下:0。0 1200.0 0 4 30。00230.0 0 250.0 04 30.01610,00以0.0 0 320。0 0 2 30.0 0 2 40.01170.00 410.00
13、 2 50.0 0 3 20。0 0 410.0169单位 权中误差几=1. 3, .由上表可算得a二:粼0.14dm=a二 。2期周江 文:经典误差理论与抗差估计1寡9此外还算了J,=A C一A/尸(C=A产尸A),得到对角元素J;(参看4pp.4 4 一48 ):1 ,2 , 5 ),1J.li0 .0 .( i,口八Uno月L L一一日一UO n 口nn嘴11 氏口,19曰O一日甘2 0 2 70一Un 廿臼了Q口J.n0n 八Onnno乃O1且O0.37,0.(i:)0.26,0.其值均不大,因此没有杠杆点问题。现在以粗差一l0 l ( 7.7a 0)分别加于l ,艺,l廿,用不同方案
14、进行估算,一 结果如下表:不不不加粗差差加于l . . .加于儿儿加于11, ,L L L L LS S SL A D D DL S S SHuber r rIG G G GL 人 D D DL S S SHube r r rIGG G GL人D D DL sHube厂厂IG e e eLA D D DH H H H Hube r,I GG G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G占占劣- - -一0.10 0 0): : :一0。14 4 4一0.12 2 2一0.10 0 0 一0。06 6 6一0。10 0 0一0。1
15、0 0 00。04 4 4一0.3 0 0 0一0.23 3 3一0.13 3 3一0。16 6 6占占夕- - -2。32 2 2 2 2夕.Z Q Q Q2.31 1 19久, , ,2.35 5 52.33 3 39qg g g2.40 0 02.98 8 82.78 8 82。47 7 72.74 4 4占占x: : :一l。21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1一1.3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1一0.8 9 9 9一1.17 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
16、7 7一0.99 9 9一l。1 7 7 7一1.18 8 8一l。2 0 0 0一l。0卫卫6 6 6y* * *一0.53 3 3一l。0 1 1 1一1.53 3 3一0。51 1 11。23 3 3一1.1 1 1 1一0.6 2 2 2一0.55 5 5一 1夕只只一0.5 1 1 1一0.46 6 6一0.49 9 9一0.52 2 2一0.61 1 1一一一一0.40 0 0一0.45 5 5 5 5一0。53 3 3一0。29 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9一一一一一一一一一一一0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 口: : :l3 3 32.7 7 71。6 6 61.2 2 21。9 9
