《概率论习题答案(4)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论习题答案(4)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习题四习题四1.设随机变量X的分布律为求E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）.【解】【解】(1)11111()( 1)012;82842E X (2)2222211115()( 1)012;82844E X (3)1(23)2 ()32342EXE X2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为X，则X的分布律为故()0.583 00.340 1 0.070 20.007 30 40 5E X 0.501,5 20()()ii iD XxE XP222(00.501)0.583(1 0.5
2、01)0.340(50.501)0 0.432. 3.设随机变量X的分布律为且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】【解】因,1231PPP又,12331()( 1)010.1E XPPPPP 2222 12313()( 1)010.9E XPPPPP 由联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少？X1012P1/81/21/81/4X012345P5 90 5 100C0.583C14 1090 5 100C C0.340C23 1090 5 100C C0
3、.070C32 1090 5 100C C0.007C41 1090 5 100C C0C5 10 5 100C0CX101Pp1p2p32【解】记A=从袋中任取 1 球为白球，则0( ) |NkP AP A XkP Xk全概率公式0011().NNkkkP XkkP XkNN nE XNN5.设随机变量X的概率密度为f（x）= ., 0, 21,2, 10,其他xxxx求E（X） ，D（X）.【解】【解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx213 320111.33xxx122232017()( )dd(2)d6E Xx f xxxxxxx故221()() ().6D
4、XE XE X6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量 的数学期望. （1）U=2X+3Y+1； （2）V=YZ4X.【解】【解】(1) (231)2 ()3 ( ) 1E UEXYE XE Y2 53 11 144. (2) 44 ()E VE YZXE YZE X,( )( )4 ()Y ZE YE ZE X因独立11 84 568. 7.设随机变量X，Y相互独立， 且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16， 求E（3X2Y），D （2X3Y）.【解】【解】(1)(32 )3 ()2 ( )3 32 33.EXYE XE
5、 Y (2)22(23 )2()( 3)4 129 16192.DXYD XDY 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为3f（x，y）= ., 0,0, 10, 其他xyxk试确定常数k，并求E（XY）.【解】【解】因故k=2 1001( , )d ddd1,2xf x yx yxk yk .100()( , )d dd2 d0.25xE XYxyf x yx yx xy y 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=fY（y）= ;, 0, 10,2 其他xx(5)e,5, 0,.yy其他求E（XY）. 【解】【解】方法一：先求X与Y的均值 102()2 d,3E Xxx
6、x5(5)500( )ed5e de d5 1 6.z yyzzE Yyyzzz 令由X与Y的独立性，得 2()()( )64.3E XYE XE Y方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为(5)2 e,01,5,( , )( )( )0,yXYxxyf x yfxfy 其他于是11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy 10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=fY（y）= ; 0, 0, 0,22xxxe e ee. 0, 0, 0,44yyye e ee求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】【解
7、】22-2 000()( )d2edee dxxx XXxfxxxxxx 201ed.2xx401( )( )d4edy.4y YE Yyfyyy2224 2021()( )d4ed.48y YE Yy fyyyy从而(1)113()()( ).244E XYE XE Y4(2)22115(23)2 ()3 ()23288EXYE XE Y 11.设随机变量X的概率密度为f（x）=. 0, 0, 0,22xxcxxke e ee求（1） 系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】【解】(1) 由得.2 220( )ded12k xcf xxcxxk22ck(2)2 220()( )d( )
8、2edk xE Xxf xxxk xx2 22202ed.2k xkxxk(3)2 22222 201()( )d( )2e.k xE Xx f xxxk xk故 222 2214()() ().24D XE XE Xkkk12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取 出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 900.750,12P X3910.204,1
9、211P X32920.041,1211 10P X321930.005.1211 109P X于是，得到X的概率分布表如下：由此可得()0 0.750 1 0.2042 0.041 3 0.0050.301.E X 22222222()0750 10.20420.041 30.0050.413()() ()0.413(0.301)0.322.E XD XE XE X13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）= . 0, 0, 0,414xxx e e ee为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调
10、换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100 元和200 元 X0123P0.7500.2040.0410.0055/41/4111001ede4xP YP Xx1/420011 e.P YP X 故(元).1/41/41/4( )100 e( 200) (1 e)300e20033.64E Y 14.设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2， n，记，S2=. niiSXnX12,1 niiXXn12)(11（1） 验证=，=；)(XE)(XDn2（2） 验证S2=；)(11
11、122 niiXnXn（3） 验证E（S2）=2.【证】【证】(1)1111111()()().nnniii iiiE XEXEXE Xnuunnnn22 111111()()nnniiii iiiD XDXDXXDXnnn之间相互独立2 2 21.nnn(2) 因222221111()(2)2nnnniiiii iiiiXXXXXXXnXXX2222112nnii iiXnXX nXXnX故.22211()1ni iSXnXn(3) 因,故2(),()iiE Xu D X2222()()().iiiE XD XEXu同理因,故.2 (),()E Xu D Xn222()E Xun从而6222
12、221111()() ()()11nnii iiE sEXnXEXnE Xnn2212 22221()()11().1ni iE XnE Xnnununn15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解】【解】Cov(321,43)3 () 10Cov(, )8 ( )XYXYD XX YD Y3 2 10 ( 1)8 328 (因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=221,1, 0,.xy 其他试验证X和Y是不相
13、关的，但X和Y不是相互独立的.【解】【解】设.22( , )|1Dx yxy2211()( , )d dd dxyE Xxf x yx yx x y 21001=cosd d0.rr r 同理E(Y)=0.而Cov(, )( ) ( ) ( , )d dX YxE xyE Yf x yx y ,2221200 111d dsincosd d0xyxy x yrr r 由此得,故X与Y不相关.0XY下面讨论独立性，当|x|1 时，22121112( )d1.xXxfxyx当|y|1 时，.22121112( )d1yYyfyxy显然( )( )( , ).XYfxfyf x y7故X和Y不是相互独立的. 17.设随机变量（X，Y）的分布律为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的 分布律，其分布律如下表1011 0 11/81/81/8 1/801/8 1/81/81/8X101P3 82 83 8Y101P3 82 83 8XY101P2 84 82 8由期望定义易得E（X）=E（Y）=E
