《小学奥数经典专题点拨：几何图形计数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数经典专题点拨：几何图形计数（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、几何图形的计数 【点与线的计数】 几何图形的计数 【点与线的计数】 例 1 如图 5 . 4 5 ，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是 这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？ （全国第二届“华杯赛”决赛试题） 讲析：可用“分组对应法”来计数。 将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有 1 个，其下行线有 2 点； 第二排三角形有 3 个，其下行线有 3 点； 第三排三角形有 5 个，其下行线有 4 点； 以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。 所以是小三角形个数多。 例 2 直线 m 上有 4 个点，直线 n 上有 5 个点。以这些点为顶点可以 组成多少个三角形
2、？ （如图 5 . 4 6 ） （哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题） 讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。 直线 n 上有 5 个点，这 5 点共可以组成 4 3 + 2 1 = 1 0 （条）线段。 以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成 4 1 0 = 4 0 （个）三 角形。 同理，m 上 4 个点可以组成 6 条线段。以它们为底边，以 n 上的点为 顶点可以组成 6 5 = 3 0 （个）三角形。 所以，一共可以组成 7 0 个三角形。 【长方形与三角形的计数】 【长方形与三角形的计数】 例 1 图 5 . 4 7 中的正方形被分成 9 个相同的小正方形
3、，它们一共有 1 6 个顶点，以其中不在一条直线上的 3 点为顶点，可以构成三角形。在这些 三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？ （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 为 3 的三角形，或者高为 2 ，底为 3 的三角形，都符合要求。 底边长为 2 ，高为 3 的三角形有 2 4 4 = 3 2 （个）； 高为 2 ，底边长为 3 的三角形有 8 2 = 1 6 （个）。 所以，包括图中阴影部分三角形共有 4 8 个。 例 2 图 5 . 4 8 中共有_ _ _ _ _ _ 个三角形。 （现代小学数学）邀请赛试题） 讲析：以 A B 边上的线段为底边，以 C 为顶点共有三角形 6 个
4、； 以 A B 边上的线段为底边，分别以 G 、H 、F 为顶点共有三角形 3 个； 以 B D 边上的线段为底边，以 C 为顶点的三角形共有 6 个。 所以，一共有 1 5 个三角形。 例 3 图 5 . 4 9 中共有_ _ _ _ _ _ 个正方形。 （现代小学数学邀请赛试题） 讲析：可先来看看图 5 . 5 0 的两个图中，各含有多少个正方形。 图 5 . 5 0 （1 ）中，正方形个数是 6 3 5 2 4 1 = 3 2 （个）； 图 5 . 5 0 （2 ）中，正方形个数是 4 4 + 3 3 + 2 2 1 1 = 3 0 （个） 如果把图 5 . 4 9 中的图形，分成 5
5、6 和 4 1 1 两个长方形，则： 5 6 的长方形中共有正方形 5 6 + 4 5 3 4 2 3 1 2 = 7 0 （个）； 4 1 1 的长方形中共有正方形 4 1 1 + 3 1 0 + 2 9 1 8 = 1 0 0 （个）。 两个长方形相交部分 4 5 的长方形中含有正方形 4 5 + 3 4 2 3 1 2 = 4 0 （个）。 所以，原图中共有正方形 7 0 1 0 0 - 4 0 = 1 3 0 （个）。 例 4 平面上有 1 6 个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的 距离都相等 如图 5 . 5 1 （1 ） ，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用 线将它们围起
6、来，一共可围成_ _ _ _ _ _ 个正方形。 （小学生科普报奥林匹克通讯赛试题） 讲析：能围成图 5 . 5 1 （2 ）的正方形共 1 4 （个）； 能围成图 5 . 5 1 （3 ）的正方形共 2 （个）； 能围成图 5 . 5 1 （4 ）的正方形共 4 （个）。 所以，一共可围成正方形 2 0 个。 【立体图形的计数】 【立体图形的计数】 例 1 用 1 2 5 块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个 大正方体 （如图 5 . 5 2 ） 。 那么， 露在表面上的黑色正方体的个数是_ _ _ _ _ _ _ 。 （1 9 9 1 年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：本
7、题要注意不能重复计数。 八个顶点上各有一个黑色正方体，共 8 个； 每条棱的中间有一个黑色正方体，共 1 2 个； 除上面两种情况之外，每个面有 5 个黑色正方体，共 5 6 = 3 0 （个）。 所以，总共有 5 0 个黑色正方体露在表面上。 例 2 把 1 个棱长为 3 厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小 正方体的棱长必须是整数。 如果这些小正方体的体积不要求都相等， 那么， 最少可以分割成_ _ _ _ _ _ 个小正方体。 （北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题） 讲析：若分成的小正方体，则共可分成 2 7 个。 但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的， 尽可能地分。 则在开始的时候， 可分出一个2 2 2 的正方体 （如图5 . 5 3 ） ， 余下的都只能分成 1 1 1 的正方体了。 所以，最少可分成 2 0 个小正方体。
