量子群和量子代数

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1、93/12/21修訂 表 C012 共 15 頁 第 1 頁 欒丕綱老師 近五年內主要研究成果 自 1999 年到現在為止本人的研究工作都是理論方面的，涵蓋了數個不同領域。第一是數學 物理中的量子群與量子代數。第二是聲波的 Anderson局域化。第三是光子晶體與二維系統 中古典波的統一理論。第四是量子力學。第五是統計力學；包括趨向平衡的隨機過程，以 及波色 愛因斯坦凝聚。第六是負折射現象與光子晶體元件的理論研究。我現在將它們列 在下面（不完全按年代順序）。 1. 量子群(Quantum Algebras) 1999 在這段期間我推廣了傳統的單一參數量子 Hopf 代數(2)qU sl成為新的

2、雙參數量子 Hopf 代 數(2)qU gl。我也找到了這種新代數的普適R矩陣。利用表示論 （Representation theory） 於 此普適R矩陣可以很容易得到任意維度的楊-巴克斯特方程（Yang-Baxter equation，YBE） 矩陣解。一般而言直接解矩陣解是非常複雜與繁瑣的。這種代數的推廣應用在建造繩結多 項式可提供較多的色參數（Colored Parameters），增加鑑別率。此成果發表在 J. Math. Phys. 41, 6529 (2000) 1. 2. 聲波在隨機層狀介質中的 Anderson 局域化 (Anderson Localization of ac

3、oustic waves in randomly layered structures) 1999-2001 這段期間我主要使用傳遞矩陣法（transfer matrix method）研究聲波中的 Anderson 局域化問 題。我在這方面的第一個工作是研究在一個導管中的一維聲波傳導問題。導管內含有水， 以及一些氣泡，隨機分佈於導管中。假定導管很細，以致於氣泡不是球狀，而是很扁的（圓 柱）薄片層。另外，為了簡化計算，我們假定每片氣泡層具有相同厚度。我們選擇這樣的 一個研究主題是因為對聲波而言，水與空氣的阻抗比非常大(大約 3500)，以致於我們預期 在這樣的一個系統中能夠很容易的觀察到不平常

4、的現象。對於週期與隨機排列的空氣層， 我們進行了大量的數值模擬。模擬的結果證實了一般的信仰：不論亂度有多小，只要系統 夠大，波在一維系統中一定會發生局域化。 另外，我們也發現系統的局域化行為與氣泡位置未被弄亂前的空間週期性有關。更詳細的 說，當我們把位置亂度設為 0 時，此系統成為週期系統，也就是所謂的一維聲子晶體 （Sonic Crystals），具有頻帶結構（Band Structure）。對應於波可在管內傳遞的頻段稱為通帶（Pass Bands），不可傳遞的頻段稱為禁帶（Forbidden Bands）或帶隙（Band Gaps）。我們發現在 隨機系統中波局域化的程度與未加亂度之前的週期

5、系統之頻帶結構有很強的相關性，符合 電磁波研究的類似結果。此成果發表在 Phys. Rev. E. 63, 066611 (2001) 2。 然而，進一步分析 Lyapunov 指數（波幅的指數衰減率） 的統計特性，會發現 Lyapunov 指 數的均方差（Variance）與平均值不成正比，此點並不符合傳統標準理論的所謂單參數標度 律（single parameter scaling hypothesis （SPS） ），因此與較早的對電磁系統的研究結果 不同（參考 Deych. et. Al）。由於一維的聲波與電磁波方程事實上具有相同的數學形式，因 此這個結果的差異就不是來自於波動方程的差

6、異。為了釐清聲學系統（Acoustic Systems） 與電磁系統的差異究竟來自何處，我們在之後的一篇文章中同時研究了兩個不同的電磁和93/12/21修訂 表 C012 共 15 頁 第 2 頁 一個聲波的層狀系統。我們發現無論是聲波或電磁波系統，只要組成系統的兩層介質的阻 抗比夠大 ， SPS 就不再正確了 。 描述局域化得考慮更多參數才行 。 這些研究結果發表在 Phys. Rev. E. 64, 066609 (2001) 3。 基於這些研究成果，我們進一步將傳遞矩陣法推廣應用至二維柱面及三維球面層狀結構。 它們的主要物理與一維系統類似，但有一個重要差別：波能量可以長時間儲存於層狀結構

7、 核心的空腔（Cavity）內。因此原則上可以建造層狀結構以長時間儲存波能量，或是製造出 傳送聲波的聲纖（Acoustic Fiber），參考 J. Appl. Phys. 91, 4761 4。 另外，我與王誠敬先生（中央大學物理系畢業的碩士生）研究了金屬電介質層狀結構的 An d e r s o n Lo c a l i z a t i o n 問題，得到與一般介電質層狀結構不同的一些有趣的結果。發表在 Phys. Rev. E 65, 066602 5。 3. 二維光子晶體與聲子晶體 、古典波的統一理論(Studies of 2D photonic crystals and unifie

8、d theory of classical waves (2000-Now) 自 2000 年起，我將過去在 1D , 2D 及 3D 層狀結構研究中所獲得的經驗進一步應用在二維 光子晶體（Photonic Crystals）與聲子晶體（Sonic Crystals）的研究中。要設計一個可用的光 子晶體最重要的就是要找出具有最大光子帶隙（Photonic Band Gaps）的結構。用平面波展 開法研究此問題時，必須計算結構因子（Structure Factor），這是在單位晶胞（Unit Cell） 中的一個相因子的積分，此積分含有介電常數在晶胞中分布的細節，也是決定帶隙大小的 關鍵。對於截

9、面形狀簡單的介電質分布，像是圓柱，很容易計算這個積分。但是對於形狀 較複雜的結構，這個積分不容易計算。利用 Stokes 定理，我們推導出一個可以應用於截面 是任意邊數多邊形的公式。此公式僅僅用多邊形的頂點座標就可以計算出結構因子。由於 任意形狀都可以用多邊形近似地得到，因此原則上解決了任意形狀的問題。利用此公式我 們分析了 18 種結構的結構因子細節，並列出了一張公式表。另外，我們也針對一種在每一 單位晶胞中有一個十字架形孔洞的氧化鋁陶瓷（alumina ceramic）結構進行了光子帶隙的計 算，並發現在高頻區有一個可用的帶隙。適當調整晶胞的尺寸將可以使這個帶隙落在常用 的微波頻率。細節請

10、參考 arXiv: cond-mat/0105428。文章已寄至 J. Appl. Phys. 6。 第二項與光子晶體有關的工作是可調式光子晶體（Tunable Photonic Crystals）的研究。我與 楊宗哲教授及他的博士班學生劉文龍設計了一種可調式光子晶體。簡單的說，此種光子晶體 是利用兩組具有相同周期性但有不同介電質柱（方柱及圓柱）的光子晶體套疊而成（見圖 一）。藉著這兩組光子晶體的相對平移滑動，可實現帶隙寬度的調制（圖二）。我們還在數 值模擬中發現在一個平移的範圍內，帶隙的寬度保持不變。增加數值模擬的精確度後，我們 發現此範圍依然存在，所以去除了它僅僅是數值模擬誤差的可能性。此

11、說明將兩組光子晶體 的相對位置歸零時，可以不必要求很高的精 確度。此研究的成果 已發表在 J. Phys.: Condens. Matter 16 (2004) 45574566 7（本人純服務，未 掛名）。 93/12/21修訂 表 C012 共 15 頁 第 3 頁 圖一: 可調式二維光子晶體的單位晶胞。 圓柱與柱可做相對位移。 圖二：藉平移調制帶隙寬度。 另外一項重要工作是我們證明了在小於或等於二維的非均勻系統中（可含有任意數量的散射 體），有四種古典波的波動方程可以被統一處理，它們分別是：流體中的聲波、固體中的橫 向彈性剪波、E 極化電磁波（E-polarized EM waves）以

12、及 H 極化電磁波（H-polarized EM waves）。這樣的統一處理方式給予研究者非常好的直觀式洞察，幫助我們將單一方面的知識 轉換應用於另一方面。例如對一個熟悉聲學系統的人，它可以用聲學問題的方式思考電磁問 題，反之亦然。這樣的一種處理給予我們在研究波的多重散射系統（特別是光子晶體與聲子 晶體）上非常好的指引與啟發。文章已寄至 Phys. Rev. E. 8。 4. 量子力學 (1999 Now) 自 1999 年起我與林德鴻博士（Dr. D. H. Lin，目前任職於交通大學應用數學研究所）合作 了兩篇量子力學的文章。第一篇文章中研究的是相對論性電子在庫倫場 （Coulomb P

13、otential） 中的格林函數（Greens Function）。文章中採用的方法是由 Duru 與 Kleinert 所發展出的 時空座標轉換法。採用這個轉換法，我們首先將庫倫場的相對論性路徑積分（Path Integrals） 中的時空參數做適當的轉換，使其變成一個 Morse Potential 的路徑積分問題。然後再做另 一次轉換，將 Morse Potential 的問題轉換成簡諧振子 （Simple Harmonic Oscillator） 的問題。 由於簡諧振子的路徑積分是已解決的 ， 因此庫倫問題就解決了 。 參考 J. Phys. A33, 5663-5668 93/12/

14、21修訂 表 C012 共 15 頁 第 4 頁 (2000) 9。 第二篇文章探討的是一個粒子同時在一個球對稱（Sp h e r i c a l l y Sy m m e t r i c ）的指數形的位 能場V(r )=c r v （-20|dz0|dz0|dz圖五： 理想負折射介質板（1n=）的厚度之限制來自於 邊界條件。介質板若厚度超過波源與第一介面的距離，波相位將無 法連接。當介質板夠薄時，介質板內（後）之柱面波可看成由虛像 1r （2r ）輻射而出（參考 15） 。 3. 繞射極限是否能被超越 ? 吸收與色散是否會破壞負折射 ? 在40, 41 中，這個問題被認為已獲得部分解答。我們

15、在15 中也研究了這個問題。結論是， 對夠小的吸收值，近波長與次波長成像都是可以做到的。在近波長成像的例子中，消散波並 不明顯，而能量可集中於兩個焦點。在次波長成像的例子中，Surface-Plasmon-Polariton (SPP) 的振幅可以達到像點振幅的 100 倍，消散波是此種成像行為的主要依據。對於這種極端情況， 我們發現可以用測不準原理 （Uncertainty Principle）做出很好的解釋（見圖六） 。 93/12/21修訂 表 C012 共 15 頁 第 9 頁 圖六：近波長(a1) (a3)及次波長(b1) (b3)成像之情形。平板左手介質 透鏡之邊界平行於 x 軸，垂直於 z 軸。(a2) 及(b2) 是焦平面上的相對場強。 (a3) 及 (b3) 是 YZ 平面上的相對場強（參考