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1、中国科学技术大学硕士学位论文环簇及其在镜像对称中的应用姓名：张永超申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：胡森20060501A b s t r a e tI nt h i sa r t j c I ew ei n t r o d u c et w _ om o t | 1 0 d st oc o n s t r u c 七t o r i cV a r i e t i e s ，f a n s 耻1 dh o m o g e n c ( H 玉sc 。r d i H 觇o s ，w 融e 量1 鲋ee q u i v a 王e n t ，T h eg e o m e t r i cp r o
2、 p e n i e Sa r or e l 砒e dt ot h cc o m b 主_ l = l a t o n e s 掣o p e r t i e So f 扭n sd u et o 她e 8 ec o n s t r u c t i o n s W bg i v et h ep r o o fo ft h ea b a v ei nC h a p t e ro n e S o m ef a n sc a 肌b eg n e df r o ml a t 虹c ep 。1 y t o p e sa n dt h ct o r i e 、，材i t 鲢e s6 m m 毛h ep o l
3、 y t o p e s 解ep r o j e e n v e A sab e 越】t i f u la ) p l i c a 饭) nt oc o m b i n a t o r i c s ，w eg i v et h eo u t 】j n eo fS t 蹦l e y sT h e o m dt 船p r o o fr d a t e dt oE h r h a r tP o l y n o m i a l s F 缸oV 缸i e 乜l e 8p l a ya ni m p o r t a 础r o 】ei nM i r r o rS y m m e t W ；w e 舀v ea
4、c 班t e r 协no f F h ot o r i cv a r i e t i e 8i nt h eI a s tp a r to fC h a p t e rt W o 工nt h e3 r dp a r t ，W eg i v e勰o u 蛆殖eo fG a n d e l 硒e o n j e 缸1 r ea b 。埴t 毛h e 曲u 鞠l b 甜。f h er a t i o 强越u r v 臻o naq u i n t i ct h r e 舶l di n K e ”o r d s ：1 1 0 r i c 、r i e t y 胁l ，H o m o g e n e o
5、u 8c 0 0 r d i I l a t e ，M i r r o rs y m m e t W U 1第一章环簇定义及其构造环簇( t o r i cv a r i e t y ) 是以一个代数环( ) ”为稠密开集，并且( C ) ”在其上有一螽然作用酶代数簇。最早在上个世纪七十年代被D e m a z u r e 在 D e m a l 中蓍爨K e m p 毵等在 K | ( M S l 中先研究紧化还题提邀，环簇是类很有意恩的代数簇，可以从c n 中的一组以原点为顶点的锥生成，壶予这种构造，环簇的很多性旗帮中格点的组合性旗有关本章主要基辩便是绘毒这些构造。1 1 环簇的定义本文考
6、虑的簇都是定义在C 的代数簇主要分两类：彷射空间和仿射簇V = V ( ，矗，兀) 龛 z c ”i ( z ) 一一五 ) = o ，五多项式) ；射影空闻和射影簇V V ( 曩，如，砖) 垒 z ( 鹅拜 甄( z ) 一一E ( 激) = 0 ，E 齐次多项式 本文考虑的代数簇皆为濒上两种类裂髑l 。羔1 楚菲零复数，罗为仿射簇考虑( 秽P 到C 叶1 申的映射( j t ，t 2 ，如) H ( t l ，2 ，坛，l t l t 2 k ) ，则( c 。) = V ( z l z 2 掣杵+ l 1 ) cI c n 十1 即可，在代数群理论中，( ) 礼被称作雠代数复环，记傲T
7、这也是环簇名称的由表叉注意划( ) “= C n V ( t l 拜) ：所以( ) ”是C n 中的历州s 舰稠密开纂下面我们给出环簇的定义：定义l ，1 2 环簇X 是满足以下两个条件的不可约正则代数簇1 ) ) 8 楚x 戆洳哟缎君鬟；32 0 0 6 年中懿科学技术犬攀硕士掌位论文第4 贾 第一章繇簇定爻度英擒逸l ，l 环蕤豹定又2 ) ( C + ) n 在其自身的作用可以扩展到x 上，麸上可瓢看畿) 稚，是环簇藏稻露看铡子，秘王+ 差。3 秽楚环簇。鬣设 鬈垂：茁i ：繇l 是秽戆齐次奎嚣+ 考葱姨秽户驾羚的映射妒：( z l ，t 2 ，z n ) H 【1 ：t l ：t n
8、 l ，则+ ) n 可以看成射影空阀辩巍瓣s 瓣舞寨秽矿渤霉l 嚣n ，并且( ) 程在龟身上髓诈臻百以廷拓蓟射影空越上毒 髫= ：t l 第l ：- ：如b 麓以翦影空瓣燕坏簇。我们下藤考虑T 的特征群和单参数群翻瓣特征群为掰一 x ：丁_ 秽 x 是阀胚糯群阍态 裂z 弗，x m ( z l ，竹)一n 是环c 瑟李1 ，蔷妻1 审的单顼式，这里? 辩一鲰l ，缀2 ，移， i = lT 熬单参数群炎N 一 天：_ | 支是鼹骚糕群露态 型黔，妒 砖一( l ，H “) ，这里“一( 钒1 ，钍n ) z n 镬缭x 掰，A 辩，瘸x 。天：秽_ 秽是群弼态，赠x 。久( ) 一 尧Z
9、暴验诞，嬲型黔黔一鐾| x 懈，妒= 溉钕是露上魏好配对方便起冕，戳下我们记x m 麓m ，酽为毅，x 砚，舻) 为玎，髓) +帮始靖我髑提到环簇有漂亮豁缀合构造，关于运一点，我嚣】糟下蔼这个例子铡羔。羔。囊我钠将证明豁簇庐给出如下的辩中的蹿像。给凌瓤一( 8 ，棼帮麓磬，) = 熏：瑚燕萨中懿馥线蓠为铲磐致，所疚i i 蛾棚铲( 妨存在，我翻下面计纂这个极限+脚舻( ) 2 1 1 ：t 岛：t 5 ) 1 =O、t W 0 “f l ：o ：0 唾i 差：王】l l ：羔：镆( 1 ：1 ：1 】f o ：o ：量l器：薹：磷 o ：童：薹j8 ，各 O嚣 0 一O8 = O 。矗 On
10、b = 0窭 参，鑫O8 织垂 ；穆 参，蠡 ，务= 避建一转， 或极煮次数池 啦奎予掰，互兔对鹬，猢存在再i N ，使得弼一如，鞭) ，也就是说，d 西( 妒一：l ( m ，撇俄这些啦刚好将酞竹分块介绥囊( 峨戆定义之蓠，我靛宠零l 天锥e ) 令螅一掰圆嚣装， = NQ 劳酞表示M ，所在的实向量空间，冁中的一个有理锥盯幽N 中有限个格点张成拶一 去l 站l 天2 嚣2 + X 瓣i X o ， 趣，i 一董，2 6 年巾国科学技术大学硕士学位论文第6 贾 第一章环簇定又及葵捧遗1 2 环簇的第一种构造：雄和扇( c o n e s 删df 赫s )拶性质如下：黟具有强凸牲( 筑r o
11、n ge o n v x 沌y ) 当且仅当口n ( 一莎) 一o ；。拶的维数据包含锥最小费量空间邵锥张成向量空闻的维数；拶的面7 = f = o n ，! 是口上一线性非负函数，基B 的面可以表示成锥帮承载超平面韵交。秽中熬一维蔼稳佟锥赞速( 蕊g e ) 如果尹是锥翡一条边，刚存在本淼元鳓是pn 的唯一生成元并且锥可由所有边张成伊的超平面( f 如e t ) 是锥中余维为一的面，当锥的维数刚好是n 时，每个超平面决定一内法齑，可驭壶一个播点囊量表示。我们下匾定义对偶锥的概念定义1 2 1 如果拶是诧维向量空间的强凸有理锥，其对偶锥( 如口lc o 礼e ) 定义嚣：口“ = “ i I
12、( 竹z ，“) o ，V 似琶盯)其中( ，) 为M ，的配对容翕番塞，隽磊蠢孛煞强凸有理锥，置( 扩) 嚣一仃。S 伊垒矿n 嬲为一半群，并且有弓I 理1 2 2 G D 州o n 引理舰为一有限生成半群证臻：由于对偶锥为强凸有理雏，设 m 1 ，7 珏2 ，m 。 c 拶n 槲生成对偶锥考虑K 一 i 豫p 蠡冬至，显然彭紧致，鹭瑷菇中仅有有隈个髓中砖格点，则Kn M 生成实际上，任何对偶锥中的格点m 可以表示成蕊= A 粥 。天i 一趣+ 赴，8 z ，t i o ，l j 臼所以，菇一有限生成代数，从翁叁对偶锥中熬格煮生成蛉代数c 【X m m 拶Vn 引为一有限生成代数下面看一些例
13、子铡1 2 3 考虑中由标准基 窟t ) 生成的雏盯，则其对偶锥矿为掰中由 e ；) 生成，则c l x 。：| l = l ，珏 = e ， 一x 。，i = l ，。蟑，例1 2 4 考虑巾的仪有原点生成的锥，魁其对偶为整个M 则其生成的群代数为e 氍手1 捧= l ，他】铡l 。2 5 考虑蘧3 中鸯以下捺点 e l ，e 2 ，# 3 ，驴l e 2 一e 3 张成翡锥盯。熟其一维2 0 年中国科学技术大学猿学位论文第贾 第一事繇簇定义及蒜祷遗i 3 环簇的第二神桶遗二齐次擞标法特剐地，对于扇中地n 维锥，按照上面地维数公式，其澍应的群作用轨道舞繇蔟中熬一个嚣定煮，觚铐l ，1 莲黧髑
14、熏2 。孕霹黻看爨，：维锥弼，勖，3 对我的三个作用固定点分别为! O ：l ：味f o ：o ：l l ，l l ：o ：o l 。为了讨论环簇的一些性质，我们先引进关于强凸锥的些概念，我粥说锥是巍潺静，翔暴该雅蠢舻孛瓣部分基生成我们说锥是革纯的，如果该锥是由A 谴拳蘧嚣的部分基生娥+ 类似地，我们说是量室阚中熊癞是巍淆( 单纯) ，我们指扇中的每个椎是光滑( 单纯) 的奁攘款环簇魏梅选骂上肴窭蠡下舞论，这些也是环簇下述性质静刹蓦| 准则：定理1 2 1 0x 是由氓= 酞w 中的扇捷定的坏簇，贝I J ：薹) x 苫是完备的，存在，当虱赦耋的支撵集蕉整个空阕j 2 ) 巍是竞潜媳琢簇娄显馒
15、篓是妃潘戆；3 ) x E 是轨彤( D r 6 咖f d ) 当且仅当是单纯的。瓢上定理哥醛翔断懑，秽菇完备，光滑静环簇；( 秽) 器，C 靠为菲完餐环簇，徨是巍澹。y 落l 敬一鬈2 ，嚣4 ) e 为墨基竞罄环簇，存在奇点，并显不是单缝摄点透过主露定遴冒豉看毒，环簇熊死秘性震完全交赢酌组合性质决定，环簇的这蕈巾特性也架起了代数几何朝组合数学这嚣者之阕赡撬粱， 基滚，8 斑 黪附录里褥列举了更多关于环簇的几何特征和扇组合特征的对应羔。3 环簇的第= 种构造：齐次坐标法整土苇铤予舞，蠡缭封影空瓣黟是舔簇，我髓又稚道秽霹馘写藏桫= ( p + 1 O ) C 类似地，我l f 本节介绍环簇的烬外釉构造方式：齐次搬标环陋o m o g 髓黼e o o r d i n 赫e j ，魏方法在1 9 尊5 年由D G o X ( f G 洲1 1 ) 于1 9 9 5 年罨 入，在数学物理释褥到了广泛熬应恩，如果为觚= 瓞n 中的r l 维扇，设( 1 ) 绣悖= 羔，
