梯形问题的解题策路与方法

梯形问题的解题策路与方法梯形问题的解题策路与方法解决梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行 四边形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答一、延长两腰延长梯形的两腰，使它们交于一点，可得到两个相似三角形例 1 如图，在梯形ABCD中，BCAD//，BCEF //，梯形AEFD的面积与梯形EBCF的面积相等求证：2222EFBCAD 分析：条件是两个梯形的面积相等，而结论是三线段长的平方关系，如果延长两腰交 于一点，就可得到三个相似的三角形，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就 可得出结论证明：延长BA、CD使它们相交于O点，∵EFAD//，∴2 EFAD SSOEFOAD222EFADEF SSSOEFOADOEF∴OADDEFAEFDSSS梯形OEFSEFADEF222 同理，OEFAEFDSEFEFBCS222梯形∵EBCFAEFDSS梯形梯形故得2222EFBCADEF∴2222EFBCAD评注：面积与线段的平方关系可借助相似三角形来解决此题添加辅助线后得到若干 个相似三角形，把条件都集中在三角形中，有助于问题的解决。

二、平移对角钱平移对角钱，一般是过小底的一个端点作一条对角线的平行线，与另一底的延长线相 交，得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决在解题中，平移一条对角线后得到一个直角三角形，并且所有条件在聚集在这个三角 形中，使问题易于解决三、作梯形的高从梯形小底的两端向大底引垂线，可以得到一个矩形和两个直角三角形例 3 如图，梯形ABCD中，BCAD//，AC、BD为对角线，求证：ADBCCDABBDAC22222分析：由结论联想到勾股定理，因此，分别过A、D作BC的垂线，垂足为E、F，得到AECRt和DFBRt，分别用勾段定理，然后化简就可得到结论证明：过点A作BCAE ，垂足为E，过点D作DFBC，垂足为F，则DFAE//∴222CEAEACBECECEBEABCEBEAB2222BEBEBCBCABBECEBCAB22BEBCBCAB222同理CFBCBCCDBD2222∴CFBEBCBCCDABBDAC2222222CFBEBCBCCDAB222EFBCCDAB222，又∵BCAD//，∴ADEF ∴ADBCCDABBDAC22222评注：证明平方关系，往往要构造直角三角形，使问题转化为解直角三角形。

四、平移梯形的腰平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行 四边形例 3 是如图，在梯形ABCD中，BCAD//，E、F分别是AD、BC的中点，若90CB7AD，15BC，求EF分析：由条件90CB，我们通过平移AB、DC；构造直角三角形MEN，使EF恰好是MEN的中线解：过E作ABEM //，DCEN //，分别交BC于M、N，∵90CB，∴90ENMEMN∴MEN是直角三角形，∵7AD，15BC，∴8MN ∵E、F分别是AD、BC的中点，∴F为MN的中点，∴421MNEF 评注：这里平移样形的两腰解题，而过一腰的端点作另一腰的平行线也是常用的辅助 线五、过梯形一腰的中点构造全等三角形取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，可得两个全等三角 形例 4 如图，梯形ABCD中，DCAB//，CE、BE分别平分C和B，E为AD中点，求证：BCDCAB分析：要证明BCDCAB，可以利用E为AD中点，延长CE与BA的延长线交于F，DCEAFE，得到FACD ，再证明BFBC 即可。

证明：延长CE、BA交于点FF，显然DCFAFE∴FACD ，FECE  又∵180CBABCD，ECBDCE，EBACBE，∴90BCECBE，∴90CEB∴BE是线段CF的垂直平分线∴AFBABFBC，∴CDBABC 评注：添加辅助线后，沟通了BC、BA与CD的联系，由线段垂直平分线性质得出BFBC ，从而问题获得解决六、将梯形补成平行四边形；例 5 如图，梯形ABCD中，CDAB//，M为腰BC的中点，求证：ABCDAMDSS梯形21分析：AMD与梯形 ABCD 的面积关系不明显，如果利用梯形助特点把它补成如图 7 的平行四边形，它们之间的关系就清晰了证明：延长BA，使CDAF ，延长CD，使ABDE ；则CEBF//，则四边形BCEF是平行四边形P为EF的中点，连结PM，PM与AD交于点N连结AP、PD，则 ABCDBCEFBFPMAPMSSSS梯形平行四边形平行四边形21 41 21 ∵ABMN //，M是BC中点，∴N为AD中点且是PM中点∴四边形AMDP是平行四边形，∴APNAMDSS，∴ABCDAMDSS梯形21评注：梯形补成平行四边形，各种关系明显、直观，解题思路清晰。

通过解决以上问题可以看出，添加辅助线有助于把复杂的图形分解为简单的图形，把 复杂的问题分解为若干简单问题，把不规则图形转化为规则图形，有利于挖掘隐含条件， 造成新的关系，使原题转化为容易解决的问题。