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1、高中物理竞赛高中物理竞赛处理曲线运动的科学方法处理曲线运动的科学方法一、微元法一、微元法例例 1 1：一质量为 M 、均匀分布的圆环，其半径为 r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为 T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。解析解析：因为向心力 F = mr2 ，当 一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力 T 所对应的角速度 ，r 应取最大值。如图 36 所示，在圆环上取一小段 L ，对应的圆心角为 ，其质量可表示为 m =M ，受圆环对它的2 张力为 T ，则同上例分析可得：2Tsin= mr22因为 很小，所以：sin，即：2T=M r22 22 2 解得最大角速度：
2、 =2 T Mr例例 2 2：如图 311 所示，小环 O 和 O分别套在不动的竖直杆 AB 和 AB上，一根不 可伸长的绳子穿过环 O，绳的两端分别系在 A点和 O 环上，设环 O以恒定速度 v 向下 运动，求当AOO= 时，环 O 的速度。 解析解析：O 、O之间的速度关系与 O 、O的位置有关，即与 角有关，因此要用微 元法找它们之间的速度关系。 设经历一段极短时间 t ，O环移到 C，O 环移到 C ，自 C与 C 分别作为 OO 的垂线 CD和 CD ，从图中看出。OC =，OC=，因此：OD cosO D cos OC + OC= ODO D cos 因 极小，所以 ECED，EC
3、ED ，从而： OD + ODOOCC 由于绳子总长度不变，故：OO CC= OC 由以上三式可得：OC + OC=，O C cos 即：OC = OC(1)1 cos等式两边同除以 t 得环 O 的速度为：v0 = v(1)1 cos等效法等效法在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际
4、问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。例：例：如图 41 所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B ，相距为 d =2.5m，一个小球以初速度 v0=10m/s 从两墙之间的 O 点斜向上抛出，与 A 和 B 各发生一次碰撞后，每次碰撞时速度大小保持不变，正好落回抛出点，求小球的抛射角 。g=10m/s2解析解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为一个完整的斜抛运动（见图） 。所以可用解斜抛运动的方法求解。由题意得：2d = v0cos t = v0cos02v s
5、in g可解得抛射角：sin2 =,代入数据，得2 02gd v=150对称法对称法由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。例例 1 1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A ，抛出点离水平地面的 高度为 h ，距离墙壁的水平距离为 s ，小球与墙壁发生弹性碰撞（碰
6、撞后速度大小保持不 变)后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为 2s ，如图 71 所示。求小球抛出 时的初速度。解析解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称 性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图 71甲 所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从 A点水平抛出所 做的运动。根据平抛运动的规律：02xv t1ygt2因为抛出点到落地点的距离为 3s ，抛出点的高度为 h ，代入后可解得：v0 = x= 3sg 2yg 2h例例 2 2：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角
7、形，每只猎犬追捕猎 物的速度均为 v ，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎 犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三 只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不 变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以 只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图 73 ，设顶点到中心的距离为 s ，则由已知条件得：s =a3 3 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系
8、中顶点向中心运动的速度为：v= vcos30=v3 2由此可知三角形收缩到中心的时间为：t =sv2a 3v（此题也可以用递推法求解，读者可自己试解。 ）近似法近似法近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.例例
9、1 1：一只狐狸以不变的速度沿着直线 AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率追击，12其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F 处，猎犬在 D 处，FDAB，且 FD=L，如图 14 1 所示，求猎犬的加速度的大小. 解析解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度为猎犬所在rra,2 2处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方 向都在不断变化，题目要求猎犬在 D 处的加速度大小，由于大小不变，如果求出 D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大2小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间内
10、，猎犬运动的轨迹t 可近似看做是一段圆弧，设其半径为 R，则加速度aR2 2其方向与速度方向垂直，如图 141甲所示.在时间内，t设狐狸与猎犬分别 到达，猎犬的速度方向转过的角度DF与为/R2t而狐狸跑过的距离是： 1tL因而/R/L，R=L/2t1t21所以猎犬的加速度大小为=/LaR2 212提高题：提高题： 1.降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的.设无风时某跳伞员着地的速度是 5.0ms. 现有正东风，风速大小是 4.0ms，跳伞员将以多大的速度着地?这个速度的方向怎样? 图 141图 142甲2.如图所示，实线为某质点平抛轨迹的一部分，测得 AB、BC 间水平距离s1= s2=0.
11、4m，高度差h1=0.25m，h2=0.35m，问: (1)质点平抛的初速度 v0为多大? (2)抛出点到 A 点的水平距离和竖直距离各为多少?3.如图所示，在离地高为 h、离竖直光滑墙的水平距离为 s1处有一小球以 v0的速度向 墙水平抛出，与墙碰后落地，不考虑碰撞的时间及能量损失，则落地点到墙的距离 s2为多 大?4.如图所示，M、N 是两个共轴的圆筒，外筒半径为 R，内筒半径比 R 小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两 筒以相同的角速度 绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动.设从 M 筒内部可以通过平行于轴线的窄缝 S，不断地向外射出两种不同速率 v1和 v2
12、的微粒.微粒从 S 处射出时的初速度的方向沿筒的半径方向，微 粒到达 N 筒后就附着在 N 筒上，如果 R、v1和 v2都不变，而 取某一 合适的值，则() (A)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在 a 处一条与 S 缝平行的窄条上 (B)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某处如 b 处一条与 S 缝平行的窄条上 (C)有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处如 b 和 c 处与 S 缝平行的窄条上 (D)只要时间足够长，N 筒上将到处落有微粒5如图所示，直径为 d 的纸筒以角速度 绕轴 O 匀速转动，从枪口发射的子弹沿直径穿 过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 a、b 两
13、个弹孔，已知 aO 和 b0 夹角为 ，则子弹的速度大小为_.6如图，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的 2 倍，大轮上的一点 s 离转动轴的距离是半径的 5，20，当大轮边缘上 P 点的向心加速度是 10ms2时，大轮上的 S 点和小轮上的 Q 点的向心加速度为 aS=_ms2，aQ=_ms。7.如图所示，半径为 r 的圆筒绕竖直中心轴 OO转动，小物块 A 靠在圆筒的内壁上，它与 圆筒的静摩擦因数为 ，现要使 A 不下落，则圆筒转动的角速度 至少应为_.8、放映电影时，看到影片中的一辆马车从静止起动，逐渐加快。在某一时刻车轮开始倒转。 已知电影放映机的速
14、率是每秒 30 幅画面，车轮的半径是 0.6 米，有 12 根辐条。车轮开始 倒转时马车的瞬时速度是 米/秒。( (第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题) )曲线运动答案 基础题：基础题：1.B;1.B; 2.B;2.B; 3.C3.C 4、 【解析】（1）球以 vl速度被击回，球正好落在底线上，则 t1，vl=s/t1gh/2将 s=12m，h25m 代入得 v1=；12 2/m s球以 v2速度被击回，球正好触网，t2，v2=s/t2gh /2/将 h/=（2.52.25）m025m，s/3m 代入得 v2=。故球被击目的速度范围3 10/m s 是v。3
15、10/m s12 2/m s （2）若 h 较小，如果击球速度大，会出界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好 从球网上过去，落地时又刚好压底线，则=， ghs/2ghs/2/s、s/的数值同（1）中的值，h/ h225（m） ，由此得 h2.4m 故若 h2.4m，无论击球的速度多大，球总是触网或出界。 提高题提高题: :1，与竖直方向成角，s/m418 . 0tan2(1)4m/s；(2)水平距离 0.8m，竖直距离 0.2提示:h2-h1=gT2, s2=s1=v0T,2Thhv21 By,gtv,gTvvAyByAy2gty, tvx2A0A3 10sg2hv4ABC 5 d65，20 7rg8
