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1、2 0 1 3年第 6期 数 学教 育研 究 4 1 让学生在数学解题体验中学会思考 高志 军 ( 江苏 省南 通市 通州I - 石港中学 2 2 6 3 5 1 ) 波利亚 怎样 解题 一书 中的“ 怎样 解题 表” 包 含 四 部分 内容 ： 弄清 问题 、 拟订计划 、 实 现计划 、 回顾 波利亚 说 ： “ 弄清问题是 为好念头 的出现做 准备 ； 制订 计划是试 图引发它 ； 在 引发之后 ， 我们 实现它 ； 回顾此 过程和求解 的结果 ， 是试 图更好地 利用 它” 波 利亚 所讲 的好念 头 ， 就是指解题思考策略， 也就是说 在具体解决 数学问题过 程中要会思考 ， 会 由
2、未知向 已知 、 由复杂 向简单 的转化 ， 从而在解题体验中学会思考 ， 提高数学思维能力 1 仔 细 审题 基 于概 念 变通 思考 解题必须审题 ， 审题必须学 生 自己体验 ， 审题 是确 定解 法的前提 审题 就是要弄清 题意 ， 审清题 目的结构 特征 ， 将 已知条件 深 入化 ， 弄 清 已知条 件 的等 价说 法 ， 将 条件作适合解 题需 要 的转换 数学 基本 概念 就 是对 数学实体 的高 度抽 象 和概 括 ， 数 学 中 的定理 、 公 式 、 性 质和法则等都是 由定 义 和公设 推 演 出来 的 ， 定 义 是揭 示概念 内涵 的逻 辑方 法 ， 它 通过 指
3、出概念 所 反映 的事 物的本质属性 来 明确概 念 因此 ， 解题 时 ， 我们 首 先应 回到概念上去 ， 回到定 义 上去 ， 由概念 出发 变通 思 考 ， 看看能否通过概念或定 义去解题 例 1 已知 点 P( -z 、 ) 满 足 方 程 f z+ 一 1 l 一 z + 。 ， 则点 P( x 、 ) 的轨迹是 ( 填直线、 抛 物线 、 椭 圆、 双 曲线) 分析我们 同学对 于此题来 讲 ， 审题应 不太 困难 ， 即容易想到本题 就是 考查 “ 曲线 和方 程” 的相应 知 识 ： 化简方程 如 果 这样 思 考 的话 ， 我 们可 以 通 过平 方 化 简 ， 但含 的交
4、叉项 x y 至 此 ， 我们绝 大多数 同学胡 猜一个填上 如果 我们 进 一步 审题 ， 抓 住题 目的本 意 ， 即仅需判断 曲线 的 形状 因为直 线 和二元 一 次方 程一 一对应 ， 显然不 填直 线 ， 因此 ， 肯 定是 在抛 物 线 、 椭 圆 、 双曲线 中选一个 ， 回到三者 的概念或 定义上 去 ， 则 问题 会 迎 刃 而 解 ，i ，i r 解 将 原方 程 变 形为 一 1 ， 即 竺 I z Y l l 0 1 4 2 一 2 ， 因为 z + 表示点 P( x、 ) 到原点 0( O 、 o ) 的距 l 上一1 I 离 ， 而 - 表示点 P( z 、 )
5、到直线 z +y -1 0的 2 距离 ， 所 以此方程 的几何意 义就是动点 P( x 、 ) 到定点 O ( o 、 O ) 的距离与 到定直线 。+y -1 0 距 离之 比为 2 1 ， 所 以动点 P( x 、 ) 的轨迹 是双 曲线 ， 填双曲线 体验 1 曲线 和方程是 “ 形” 与“ 数” 的具体体 现 ， 它们常常需要解决 两大类问题 ： 求 曲线方程 ； 已知方程 研究 曲线 解决 这两 类 问题必 须有 关键 一 步 ， 即化 简 2 圆锥 曲线椭 圆、 双 曲线 、 抛物线是解析几何 中的主要 内容 ， 我们要真正 掌握 和理 解它 们 的第一 定 义和 第二 定义 (
6、 统一定义) ， 在解决具体 问题 时， 尽 可能 回到定义 回到概念上去 思考 ， 这样 你 会有 意想 不到 的惊喜 和无 比愉快 的解题体验 2理清 思 路 制定计 划全 面思 考 学 习总是在 原有 的知 识基 础上进 行 的 ， 原有 的知 识 和解决 问题 的体 验是 数学 思考 的基 础和起 点 学会 在解 题 中怎样选 择 、 怎样 思考 ， 根据解 题 的实际需 要 ， 收集有用 的信 息 ， 并将 这些 已有 的知 识和体 验将 头脑 中出现 的各种灵感 、 各种念头 ， 根据题 意尽可 能地纳入 同一个具有指 向性 的解题 思路 过程 中， 形成 一个 比较 清 晰、 具
7、 体 的解 题思 路 在理 清思路 之后 ， 就开 始实施 计划 ， 设 计解题 方案 ， 用 文字 、 符号 等把 沟通 已知和未 知 的过程 表述 出来 有 时， 解题 思路 十分清 晰 ， 解 题计 划也 b E 较 明了， 但在实施计划 时不能实 现解题 目标 如 果是这样 的话 ， 我们应该不断 调整计划 ， 在边 思考边尝 试 ， 边尝试 边思考的解题过程 中完善计 划 ， 从 而实现正 确解题 的 目的 例 2若 n 、 b 、 C 、 d都 大于 0 ， 且 口 f +d ， 6 c +d 求 证 ： a b a d+b c ， 分析 证 明不等式最 常见 的三大方法是 ： 比
8、较法 ， 综合法和 分 析法 解决 此题 时 ， 我 们 同学 的思 路很 明 确 ， 即用 比较法 ： n 6 一( a d +b c ) ( c +d ) ( c + ) 一( a d + b c ) ， 而后展开再进行证 明 但 无论 怎样处理 ， 都不 能实 现证题 目标 怎么办呢?我们进 一步全 面思考 ， 调整思 路 ， 不断试行 证 题计 划 ， 从 需 证 明 的不 等式 的右 边考 虑 ， 可 以发 现右边 是二项 之和 ， 那 么， 能 不能 回到不等 式 的性质上去进行证 明呢?试试看 ! 证 明 、 b 、 c 、 d 0， 口 c +d， 6 c +d， nc d O
9、 ， 6 一d c O ， 得 ， ( 口 f ) ( 6 一 ) f ， 展开化 简得 口 a d + 体验在证 明此 不等 式过 程 中， 我 们 的解 题 思路 和计 划常常是 想利 用证 明不 等式 的一 些基本 方法 ， 而 忽视 了不等式性质 的具 体应 用 此 题关键 的思路是 “ 移 项” ， 结合 不等式 的性质 ， 则证 题流畅清 晰 ， 否 则证题 比 较 棘手 因此 ， 基 本 的数 学思 想往往 是确定 解题思 路 、 制定解题计划 的出发点和起 点 3瞄准 目标 重视 过程缜 密 思考 我们 知道 ， 掌握 数学 在某 种 意义 上讲就 是意 味着 解题 ， 数学
10、素质 、 数 学 能力 的具体 体 现是 快 速 准 确解 题 在具体解决 问题过程 中， 要不 断观察 ， 仔细琢磨 ， 认 真研究 ， 不断取舍 ， 观察解 题过程前 、 中、 后 的情 况 的变 化 ， 要 细想有 没有 理解好 题意 ， 是 否将有关 题设看 错 、 看漏 ， 要 善 于挖掘 隐含条件 ， 要 思考基 本原 理、 基 本方 法 ， 全面掌握 已知条件 在确定解题 目标后 ， 瞄准 目标 ， 缜密思考 ， 不 断 检 验 ， 力 求思 路 流 畅 ， 逻 辑严 密 ， 表 述 简洁 4 2 数 学教 育研 究 2 0 1 3年第 6 期 例 3 是否存在这样的等差数列 a
11、 ， 使 它的首项 为 1 ， 公差不为零 ， 且前 项 和与其 后 2 项 的和 的 比值 对于任意 自然数 都等于常数 ?若存在 ， 求出数列 a 的通项公式及常数 的值 ； 若 不存 在 ， 请说明理 由 分析 此 题属 于开放题 型 ， 常见解 法是 先假设 存 在 ， 若能 求出符 合题 意的解 ， 则存 在 ， 否则 ， 不存 在 此 题解题 目标是 先设有 关参 数 ， 将题 中所 涉及 到 的有关 量用所设 的参数来表示 要 十分重 视对题 设条 件“ 前 项和 与其后 2 项 的和 的 比值 对于 任意 自然 数 都等 于常数” 的理解 ， 并在解题过 程 中不 断进行转 化
12、 、 化归 ， 使 问题获得解决 解若存在这样 的等差数列 n ， 设 公差为 d ( d o ) ， 常数为 ， 则 -2 ， 即( +1 ) S =2 S 3n J n 0 因S 詈 2 +( 一1 ) ， S h 一 o n 2 +( 3 n 一1 ) 6 ， 把它们代 人化 简得 ： ( 1 8 2 ) +2 4 +( 2 2 1 ) d一 0 由题 意 ， 对于任意 自然数 ， 此方程恒成立 ， 所以 ， d ( 1 8 ) 一 2 4 A + ( 2 一 1 ) d一 0 1 d O ， 一 ， 此时 d =2 O 故存 在这样 的等差 数列 a ， 其通项 公式 为 a 一 1
13、2 一1 ， 常数 一 o 体验解决此 题 的过程最 关键 的是 想 到设 参数 ： 公差为 d( O ) 、 常数为 ， 具体解题 过程 涉及 到将 问 题转化为 ： 对于任意 自然数 ， 方程 ( 1 8 ) ：2 一 + ( 2 一1 ) 一0恒成立 的问题 ， 要缜密思考这类 问题解 决 的一般方法 ， 循序渐进 ， 各个击 破 ， 直至问题解决 4纠正 总结 讲 究方法 灵活 思考 学习数学 ， 思 考纠 正 、 总结 提高 十分 重要 ， 我们 每 做一道题都要注 意思考 总结 ， 做 好之 后 回想一 下 自己 的解 题思路 ， 从 中联想 总结 出这类题 的一般解 题方法 ，
14、尤其是做完难题 ， 更应从 中掌握解题 的方法 对于 自己 做错了的题或没 有做 出来 的题 ， 要仔 细推 敲答 案 的解 题思路 ， 并和 自己当时 的想法 进行 对 比， 灵 活思 考 ， 查 一查 自己的想法或思路问题 出在哪一 环 ， 想 通理顺后 ， 自己再做 一遍 ， 看看有没有 更好的想法 和解题 方法 这 样 ， 做过 的题 目才算 真正 消化 ， 变成 自己的东西 ， 形 成 自己 的想法和思路 ， 实现多种解题方 法的串通 例 4 ( 南通 市 2 O 1 3届 高三 第二 次调 研 测 试 1 3 题) 设 实数 z 1 ， 2 ， z 3 ， z 4 ， z 5 均不
15、小 于 1 ， 且 z l z 2 z 3 z 4z 5 7 2 9 ， 则 ma x z 1 z 2 ， z 2 z 3 ， x 3 z 4 ， z 4 5 ) 的最 小值是 分析一 个变量的双重最值问题 ， 当这 个变量 都相等且有解时 ， 我们 可特 殊化 ， 转化 为求 个变 量都 相等 时的变量所对应 的值 ， 即为所求的最值 解 法 一 令 x1 z2 z2 3 一 3 x4 一x4 z 5 ， 因 为 实 数z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，z 5 均 不 小 于1 ， 因为 z l z 2 z 3 z 4 z 5 7 2 9 ， 所 以 z ； 7 2 9 3 ， 则 -z z i ：3 z 2 因为实数 z ， z ， ， ， z s均不小于 1 ， 所以 z z ； 一3 。 z 2 3 ， 即 z l z 2 9 ， 当 且仅当 一 。 一 一 。 时取“ 一 ” ， 所以m l x 2
