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2、的稳定策略（简称进化稳定策略）是进化博弈理论最基本的均衡概念，它具 有广泛的应用性并在发展中得到了不断完善。消耗战博弈模型是进化博弈中典型的模型， 它既可以用来分析生物居群中两个个体的胜负取决于坚持对峙的时间的博弈，也可以分析 有两个国家参加的战争中胜利取决于谁坚持到最后的博弈以及一些实际的经济问题。一、进化稳定策略进化稳定策略的基本思想：假设存在一个全部选择某一特定策略的大群体和一个选 择不同策略的突变小群体，这个突变小群体进入到该大群体而形成一个混合群体，如果突 变小群体在混合群体中博弈所得到的收益大于原群体中个体所得到的收益，那么小群体就 能侵入到大群体，反之就不能侵入到大群体。首先看
3、Maynard Smith 和 Price 所定义的进化稳定策略。一个策略 u1A 是进化稳定策略。如果对任意的 u2A,u2u1,满足:E(u1,u1) E(u2,u1);而当 E(u1,u1)=E(u2,u1)时,有 E(u1,u2)E(u2,u2)成立。其中,A 是进化博弈的策略 集;E 是群体中个体博弈时的收益函数。1982 年,Maynard Smith 对上述定义做了改进，给出了如下定义:一个策略 u1 是进化稳定策略。如果对所有的备择策略满足如下条件之一，ESS 条件 (1）:即 E(u1,u2)E(u2,u1),即 u1 一定是一个关于它自己的最好对策。ESS 条件(2）:若
4、E(u1,u1)=E(u2,u1)则 E(u1,u2)E(u2,u2),即若 u2 是关于 u1 的最好的备择策略,则 u1 对 u2 一 定是一个比 u2 对自己较好的策略。二、进化稳定策略的性质这一部分给出在推导和证明消耗战博弈的进化稳定策略时，将要用到的三个进化稳 定策略的简单性质，这些性质都可以由进化稳定策略的定义直接推出。性质 1:如果策略 u 是进化稳定策略,那么对任意 uA 都有 E(u,u)E(u,u)。性质 2:如果策略 u 是进化稳定策略，且对任意策略 uA 都有 E(u,u)=E(u,u),那么必有 E(u,u)E(u,u)。其中,A 是进化博弈的策略集;E 是收益函数。
5、在介绍性质 3 之前,首先看一个定义:如果 u 是一个进化稳定策略,则组成 u 的纯策略, 称为 u 的合算策略。性质 3:对任意的进化稳定策略 u,一方使用 u 的合算策略，而另一方使用策略 u,所得 到的收益与双方都使用策略 u 所得的收益相同。三、消耗战博弈模型生物学上，许多的交配特性往往体现为动物的炫耀行为。胜利往往属于炫耀时间最 长的一个。竞争的目的可能是占领一块地盘或占有雌性等，这种炫耀方式问题是双方花费 时间，而本来这些时间可以使用的更有利一些。也可以参照对消耗战博弈的描述:生物居群 中两个个体间博弈的胜负取决于坚持对峙的时间，个体的策略为对峙时间 t 的选择。其中 策略 t 表
6、示对峙到时间 t,然后停止。假定胜利方获得的收益为 ,同时要接受来自时间损耗的 惩罚值,如果惩罚值随时间均匀增加(即为时间的线性函数）,这种条件下的消耗战博弈模型 在本文中称为线性损耗消耗战博弈模型。1.线性损耗模型(1)模型描述:一生物居群中的两个同种个体，它们为了自身的利益(寻求配偶、争夺 食物等)而进行对峙(斗争)并且胜利属于坚持到最后的一方。设个体 1 选择策略 t1，个体 2 选择策略 t2，并且 t1 和 t2 均属于0,)，则个体 1 的 收益函数为:其中,0,c0。(2)模型的进化稳定策略:根据王青川等学者所著进化上的稳定策略之数学模型研究 一文得到以下的结论:任何一个纯策略都
7、不是进化稳定策略。混合策略以概率分布是一个进化稳定策略。 2.二次损耗模型针对一次损耗条件下的消耗战模型只能描述博弈双方的消耗随时间均匀增加而无法 应用到消耗随时间逐渐加快时的缺点，提出了一种新的适用于消耗随时间加快的二次损耗 消耗战模型。(1)模型描述:在生物居群中两同种个体为了自身的利益而进行争夺。两个体为了确保 最后的胜利，首先进行战前准备活动，然后投入到双方的斗争之中。由于体力、耐力等原 因双方会逐渐加大斗争的投入来尽快结束这种斗争，胜利属于坚持到最后的一方。把这种 两个体间的争夺看作是两个体之间的博弈，把两个体分别作为博弈的两个参与者。设个体 1 选择策略 t1，个体 2 选择策略
8、t2，并且 t1 和 t2 均属于0,),则个体 1 的收 益函数为:其中,0，c0,b0。 表示胜利方获得的收益;c 是损耗系数;b 是双方的初始损耗。(2)模型的进化稳定策略:任何的一个纯策略都不是进化稳定策略。证明:对个体的任意一个纯策略 t,有 E(t,t) =-(ct2+b)。对任意的 h0，E(t+h,t)=-(ct2+b)，显然 E(t+h,t)E(t,t)。根据前面的进化稳定策 略的性质 3 知:纯策略不是进化稳定策略。混合战略 u 以概率分布是一个进化稳定策略。这一部分首先找出了一个满足进化 稳定策略必要条件(性质 3)的混合策略 u,然后证明它是一个进化稳定策略。假设 u
9、是一个混合策略，它可由分布函数 F(t)给出(F(t)表示策略运用不超过 t 的概率)， 设 f(t)是 F(t)的概率密度函数。对于一个个体采取纯策略 t1,另一个体采取混合策略 u 时， 根据进化稳定策略的性质 3 得知，此时采取纯策略 t1 的个体收益为一常数(设为 A)。即有:由得到：整理后得： (1)对(1)两边求关于 t1 的导数得：(2)对(2)两边求关于 t1 的导数得:即为： (3)解微分方程(3)满足初始条件 f(0)=0,f(0)=的解为：用 t 代换 t1 得到：下面证明混合策略 u 以概率分布是一个进化稳定策略。证明:对任意策略 g，gf，即证 E(f,g)E(g,g
10、)。等价于证明下式成立 T(f,g)=E(f,f)- E(f,g)-E(g,f)+E(g,g)0（因为 gf，上式为严格不等式，又 E(f,f)=E(g,f)从而有 E(f,g)E(g,g)。 E(f,g)+E(g,f)是个体分别运用策略 f 和 g 所得收益之和。如果博弈持续到时间 t，二人的收 益和是 2-(ct2+b)，又博弈持续到时间 t 的概率为 f(t)1-G(t)+g(t)1-F(t)。其中 F(t)、G(t) 分别是 f(t)、g(t)的分布函数。所以有E(f,g)+E(g,f)=-2(ct2+b)f(t)1-G(t)+g(t)1-F(t)dt (4)E(f,f)=-2(ct2
11、+b)f(t)1-F(t)dt (5)将(4)与(5)式代入到 T(f,g)中得:T(f,g)=2(ct2+b)f(t)-g(t)F(t)-G(t)dt (6)对(6)式分部积分，得:2(ct2+b)f(t)-g(t)F(t)-G(t)dt=2(ct2+b)F(t)-G(t)dF(t)-G(t)其他参考文献Baker, Sheridan. The Practical Stylist. 6th ed. New York: Harper & Row, 1985.Flesch, Rudolf. The Art of Plain Talk. New York: Harper & Brothers, 1
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