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1、 1 经济数学复习题经济数学复习题 1.1. 设某产品的固定成本为 36 （万元） ， 且边际成本为402)(xxC（万元/百台） 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 2.2. 假设某种商品的需求量Q是价格P的函数12000 80QP, 商品的总成本是需求量Q的函数25000 50CQ, 每单位商品需纳税 2. 试求使销售利润最大的商品价格和最大利润. 3.3.某企业生产某种产品， 若需求函数pQ D214 ，供给函数pQ S24，若企业以供需一致控制产量，而政府对产品征收的税率为t，试求：(1)当税率t为多少时，征税收 益最大？最大值是多少
2、？(2)征税前后的均衡产量的变化. 4. 某工厂计划全年需要某种原料 100 万吨，并且其消耗是均匀的，已知该原料分期分 批均匀进货，每次进货手续费为 1000 元，而每吨原料全年库存费为 0.05 元，试求使总费用 最省的经济批量和相应的订货次数. 5.5. 设生产某商品的固定成本为20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，总收益函数为2 21400)(qqqR ，设产销平衡，试求边际成本，边际收益及边际利润. 6.6. 设一收益流的受益流量为 10 万元/年，在 10 年这一时间段的现值为 80 万元，若以 年连续复利率r计息，(1) 求r; (2) 求收益流的将来值. 7.7.
3、 设某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为 1000(即0P 时1000Q), 已知需求量的变化率为 1ln( )100033,P Q P 求需求量关于价格的弹性. 8.8. 设某商品的需求函数1( )85pD qq，供给函数24( )153pS qq， (1)求消费者剩余和生产者剩余； (2)若政府对每一单位的该商品征收T元的消费税， 求此时的均衡点*(,)p q，并求5T 时的消费者剩余和生产者剩余. 2 9.9. 设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两要素的投入量, Q为产出量, 若生产函数为122Qx x, 其中1. 假设两种要素的价格分别1p和2p, 试问
4、, 当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小? 10.10. 设甲口袋有a只黑球和b只白球，乙口袋有n只黑球和m只白球. 现从甲口袋任取 1 只球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 只球. 试求： （1）最后从乙口袋取出的是黑球的 概率； （2）已知最后从乙口袋取出的是黑球，先前从甲口袋放入乙口袋的球是黑球的概率. 11.11. 设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者 患高血压病的概率为 20%， 不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%， 瘦者患高血压病的概率为 5% . 问（1）在该地区任选一人，则此人患高血压病的概率； （2）在该
5、地区任选一人，发现 此人患高血压病，则他（她）属于肥胖者的概率有多大？ 参考答案参考答案 1.1.解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 64d)402(xxC=642)40(xx = 100（万元）. 又 xcxxC xCx 00d)( )(=xxx36402=xx3640 令 0361)(2 xxC， 解得6x 又该问题确实存在使平均成本达到最低的产量，所以，当6x时可使平均成本达到最小 2.2.解： 3. 解：分析： 这里税率t指每件产品征税的额度.征税收益是所征税收总额，即税率与 产量的乘积.虽然提高t可使税收总额增加，但会影响企业的利润，导致产量的减少，从而使 税收总
6、额减少. (1) 设征税后市场售价p不变，这实际相当于降低了出厂价格.记税后价格为 tp，则tpp t， 3 此时供给 )(24tpQ St， 而需求仍为 pQ D214 ， 令 DStQQ，解出均衡价格 0p及均衡产量 0Q， )(210tpp，tQ 5 0. 设征税收益为T，则205tttQT， 而 tT25， 令0T，得唯一驻点25t， 又0)25( T，可知当税率25t时，征税收益最大， 最大值 25. 6425maxT. (2) 征税前需求函数pQ D214 ， 供给函数pQ S24， 由 SDQQ，得均衡产量 29Q. 征税前均衡产量为29，征税后均衡产量变为25，税收使均衡产量减
7、少，企业产量降低，利润也当然随之减少. 4.4. 解：设经济批量为x万吨，总费用为y元，则进货手续费为x1001000 ，库存费为,1000005. 02x,1000005. 021001000x xy ,2501000002xy令0 y，解得20x（万吨） ， 02000003 xy，所以20x时费用最小， 即经济批量为 20 万吨，相应的订货次数为520100次. 4 5. 解：总成本函数 qqC10020000)( , 边际成本 100)( qC， 总收益函数 2 21400)(qqqR ， 边际收益 qqR 400)(， 总利润函数 2000030021)()()(2 qqqCqRqL
8、， 边际利润300)()()( qqCqRqL. 6. 7. 8. 解解 （1）由 ( )(D qS q） ，得 12485153qq 故 20q ，则 4p ， 即 均衡点*(,)(4,20)p q， 所以，消费者剩余 *20*220 00011( )(8)4 20(8)8040510qCSD q dqp qq dqqq ， 生产者剩余 5 *20*220 000241480( )4 20()80()1531533qPSp qS q dqqdqqq. （1） 此时从生产者的角度来看，价格由原来的p变成了p T， 供给函数变为 15()() 102S pTpT，而需求函数没有变， 由()( )
9、S p TD p，得 15() 104052pTp， 故345pT，则20 3qT， 即此时均衡点*3(,)(4,203 )5p qTT. 当5T 时，*(,)(7,5)p q， 所以，消费者剩余 *5*25 00011( )(8)7 5(8)352.5510qCSD q dqp qq dqqq ， 生产者剩余 *5*25 0002191195( )7 5()35()1531533qPSp qS q dqqdqqq . 9. 解：由题总费用函数为2211xpxp，则该问题可化为条件极值问题 )122(212211xxxpxpf， 01220202211 21221 1121 xxfxxpfxx
10、pfxx ，所以 )(6)(621 212 1ppxppx 为唯一驻点， 由题必存在费用最小的点， 即 )(6)(621 212 1ppxppx 为最小值点. 10.10. 解：设A=“从甲口袋放入乙口袋的球是黑球” ，B=“从乙口袋取出的是黑球” ， （1）( )( ) ()( ) ()P BP A P B AP A P B A 1(1) 11()(1)anbna nbn ab nmab nmab nm； （2）( ) ()(1)()( )(1)P A P B Aa nP A BP Ba nbn. 6 11. 设1A “居民为肥胖者” ，2A “居民为不胖不瘦者” ，3A “居民为瘦者” ，
11、 B “居民患高血压病” ， （1）112233( )() ()() ()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A 0.1 0.20.82 0.1 0.08 0.050.106 ； （2）11 1() ()0.1 0.2()0.1887( )0.106P A P B AP A BP B . 12、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习 的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：(1) 考试 及格的学生有多大可能是不努力学习的人？(2) 考试不及格的学生有多大可能是努力学习 的人？ 【解】
12、【解】 设 A=被调查学生是努力学习的，则A=被调查学生是不努力学习的.由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）( ) ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.2 0.110.027020.8 0.90.2 0.137, 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%. (2) ( ) ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A
13、 P B A 0.8 0.140.30770.8 0.1 0.2 0.913, 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 13、设随机试验中某一事件 A 出现的概率为(大于 0). 试证明：不论如何小，只 要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1. 并举例说明其包含的哲理. 【证】【证】 在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为 1 (1)1()nn. 有百分之一的希望, 就要做百分之百的努力! 14、某油井投资 2000 万元建成开采，开采后，在时刻t的追加成本和增加收益分别为 7 2 3( )72C tt(百万元/年), 2 3( )19R tt(百万元/
14、年), 试确定该油井开采多长时间停产, 方可获得最大利润？最大利润是多少？ 【解】【解】由生产利润的最大值存在的必要条件 ( )( )( )0L tR tC t, 即 2 319t2 372t， 可得8t ，又 ( )( )( )L tR tC t1 32 3t 11 33423tt ，(8)0L， 故*8t 年是开采利润最大值点，即最佳停产时间，此时，开采利润的最大值为 8 max0( )20LL t dt2 83 0(123)20tdt5 83 01(12)2018.45tt（百万元）. 15、已知某商场销售电视机的边际利润为( )250(20)10xxxL, 试求(1) 售出 40台电视机的总利润；(2) 售出 60 台时，前 30 台与后 30 台的平均利润各为多少? 【解】【解】 16、某种数码相机的销售量AQ，除与它自身的价格AP有关外，还与彩色喷墨打印机的价格BP有关，且有225012010ABB AQPPP，当AP=50，BP=5 时，求:(1)AQ对AP的弹性；(2) AQ对BP的交叉弹性. 【解】【解】(1) AQ对AP的弹性为 8 22250 25012010AAAAAAAABB AEQQPP EPPQPPPP 2250 120250(10)AABBPPPP
