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1、例116：周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿 轮半径为r，质量为m1，可看成为均质圆盘；曲柄OA，质量为 m2，可看成是均质杆；定齿轮半径是R。在曲柄上作用一不变的 力偶，其矩为M，使此机构由静止开始运动。求曲柄转过角后 的角速度和角加速度。解：设曲柄的角速度为，齿轮2的角速度为2。rrR+=201=T取整个系统作为研究对象，系统的初动能杆转过角后，系统的动能：2 22 12 122 2241 21)(61rmVmrRmTA+=22 122 2)(43)(61rRmrRm+=由于系统在水平面内，重力不作功，理想约束反力不作功， 所以只有M作功：MW=12由动能定理的积分形式121
2、2WTT=212932 mmM rR+=tdd=tmmM rRdd 293221 +=tmmM rRdd 21 293221 +=)29()(6212mmrRM +=例117：图示装置中，M2M1，均质滑轮的质量为M，半径为 r，绳子的质量为m，单位长度的质量为。轴承光滑，初始时 绳子两端的高度差为S0，绳子与滑轮无相对滑动，系统由静止 释放，求M1碰到滑轮之前系统的运动规律。0S1M2MMr0S1M2MMrx解：设在t时刻，M1向上位移为x，系统动能T为2 22 22 22 121 41 21 21xmrxMrxMxMT+=外力元功之和 xgxSxgMxgMWd)2(ddd021+=xgxS
3、MMxxMmMMd)2(d)5 . 0(01221 +=+xMmMMggMmMMSMMx+=)2(4 )2()(22121012 )2e(e4012+=ttSMMx MmMMg +=)2(4212小结： 动能定理最适于求解动力学第二类基本问题： 已知主动力求运动，即求速度、加速度或建立 运动微分方程。 求速度宜用动能定理的积分形式；求加速度或 建立运动微分方程宜用其微分形式，或先用积 分形式再求导。 动能定理方程中不出现理想约束的反力使解题 过程大为简便。 动能定理只适于单自由度系统。第九章第九章第九章第九章 动量定理动量定理动量定理动量定理 9.1质点系的动量定理 9.1.1质点系的动量 9
4、.1.2质点系的动量定理 9.2质心运动定理9.1质点及质点系的动量9.1.1质点系的动量1.质点动量与力冲量动量(momentum)：质点的质量m与速度V V V V的乘积，表示为I I I I。冲量(impulse)：力F F F F与其作用时间t的乘积，表示为S S S S。2.质点系动量质点系动量(momentum of a particle system)K K K K =iimV V V VK K K K =iiCmMr r r rr r r r设质点i的位置矢量为r r r ri，质心的位置矢量r r r rCdtdC CMMr r r rV V V V=tmi iddr r r
5、 rK K K KV V V V=iim质点系的动量，等于其质量与质心速度的乘积。例91：试求下列均质体的动量。 lOA=OAG G G GG G G GrOK K K KgGlK2=0=K例92：己知m、u；=45，杆重不计，园盘沿斜面纯滚，试求 系统的动量。 O mmu 解: : : : 斜面平动，园盘作平面运动， 瞬心为C。如图有 Ov v v vu u u uCuvO=斜面的动量大小为muK=1圆盘的动量大小为muK=2系统的动量大小为muK2=1K K K KK K K K 2K K K K9.1.2质点系的动量定理1.质点动量定理设质点m在合外力F F F F作用下运动，速度为V
6、V V V V V V VmF F F FF F F FV V V V=tmdd微分形式的质点动量定理(principle of impulse and momentum in differentiation form)：质点动量的微分，等于其上合外力的冲量 的微分(元冲量)。 S S S SF F F FV V V Vdd)d(=tm积分形式的质点动量定理，冲量定理(principle of impulse and momentum in integration form)：质点动量在任一时间内的改变 量，等于同一时间内合外力的冲量。S S S SI I I II I I I=122.质点系
7、动量定理内力：质点系中各个质点间的相互作用力，表示为F F F Fi。 0 0 0 0F F F F=i外力：外界作用于质点系内质点的力，表示为F F F Fe。对质点系中的第i个质点ttmiiiidd)d(ieF F F FF F F FV V V V+=对所有质点+=ttmiiiidd)d(ieF F F FF F F FV V V Vtmiiid )(de=F F F FV V V V由内力性质微分形式的质点系动量定理：=edditF F F FK K K K积分形式的质点系动量定理：=ee 12)(iitS S S SF F F FK K K KK K K K若作用于质点系的外力系的主
8、矢恒等于零，则该质点系的 动量保持不变，即质点系的动量守恒(conservation of momentum system of particles)。9.2质心运动定理根据质点系动量定理的微分形式及质点系动量计算公式=e)(dd ddiCCMMttF F F Fa a a aV V V VK K K K质心运动定理：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点系 所受外力的矢量和。在两种特殊情况下，质心运动守恒：0 0 0 0F F F F=e i(1)常矢量=CV V V V即：质点系的所有外力的矢量和始终等于零，则质心作 匀速直线运动。0e=ixF(2)常数=CxV V V V即：质点系的所
9、有外力在某轴上投影的代数和始终等于 零，则质心沿该轴作匀速直线运动。例93：三棱柱的质量为M，倾角为，放在光滑的地面上，其上 放一均质圆柱，圆柱质量为m，半径为r。系统初始静止。求当 圆柱纯滚动两转时，棱柱的位移。rxyo解：设坐标系y轴位于系统在初 始时刻的质心处0=+=mMmxMxxmM C在水平方向上，质心运动守恒且 静止。当圆柱纯滚动两周后，若 棱柱产生位移S0)cos4()(=+=mMrSxmSxMxmM CmMrmS+=cos4沿x轴正方向例94：重为P，长为2L的均质杆绕定轴O在铅垂平面内转动，在 图示瞬时，角速度为，角加速度为。计算轴O的反力。 OAC解：研究杆OA，质心C的加
10、速度如下2ntLaLaCC=n Cat Ca杆OA所受外力如图OX X X XOY Y Y YP P P Pxy)sincos()sincos(2tn+=+=LgPaagPXCCO)cossin(tnCCOaagPPY=)cossin(2+=LgPPYO例95：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端 分别沿光滑的铅直墙壁和光滑水平地面滑动。设杆的初始位置与 墙成0，试求杆沿铅直墙壁下滑的角速度和角加速度，以及杆开 始脱离墙壁时的位置。xyoCBA解：杆AB受力如图。BN N N NAN N N NG G G GDAB杆的速度瞬心为D。222 34)2(121MLMLLMJD=+=
11、222 2132 210MLJTTD=)cos(cos0=MgLW由动能定理的积分形式=WTT12)cos(cos2302=Lgsin43 Lg= xyoCBABN N N NAN N N NG G G G当杆脱离墙壁时0=AN根据质心运动定理0=ACNxM sinLxC=)cos(dd LtxC=sincos2 LL=0=)cos(cos2302=Lgsin43 Lg= )sincos(cos23cossin430=LgLLgL)cos32arccos(0=例96：质量为m、半径是r2的均质圆柱体在半径为r1固定圆柱面 内纯滚。试计算在位置在 处圆柱体的角速度和角加速度，以及 圆柱体受到的约
12、束力和保证纯滚动的最小静滑动摩擦系数(不计 滚阻) 。假设在0=30从静止开始运动。1r2r COxy解：圆柱的动能 22 2121)(430rrmTT=由动能定理的积分形式 =WTT12)(3)sin(sin42102 rrg =)(3cos221rrg = 圆柱体角速度221022123)(sin(sin2)(rrrg rrr rvC=圆柱体角加速度 22212t3cos2)( rg rrr raC= )(3)cos(cos42102 rrg =)( 3sin221rrg = sin)(2 21mgNrrm=Fmgrrm=cos)(21 3cos3)sin4sin7(0mgFmgN=33 sin4sin7cos sin4sin7cos0000= NFf1r2r COxy以圆柱为研究对象，受力图如左mgN N N NF F F F
