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1、1一、常见数学运算一、常见数学运算1、尾数估计法、自然数次方尾数估算法：、尾数估计法、自然数次方尾数估算法：156 不变，不变，24 为为 2，其余，其余 44n尾数变化是：4，6 依次循环，变化周期是 29n尾数变化是：9，1 依次循环，变化周期是 22n尾数变化是：2，4，8，6 依次循环，变化周期是 43n尾数变化是：3，9，7，1 依次循环，变化周期是 47n尾数变化是：7，9，3，1 依次循环，变化周期是 48n尾数变化是：8，4，2，6 依次循环，变化周期是 4二、路程问题：距离二、路程问题：距离=速度速度时间时间凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题；凡阻
2、碍相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。1、相遇（相离）问题：关键核心是、相遇（相离）问题：关键核心是“速度和速度和”一次相遇问题模型：甲、乙分别同时从 A、B 两地相对方的方向出发，在中途相遇了，则A、B 之间的距离=速度和（甲的速度+乙的速度）相遇所需时间二次相遇问题模型：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在 C 地相遇（距 B地距离 a），相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇（距 A 地距离 b）。则：1）甲、乙第二次相遇时走的路程分别是第一次相遇时走的路程的两倍，即甲第一次相遇后到第二次相遇时走的路=第一次相遇前走的路
3、的 2 倍2）A.B 两地相距 s= 3a-b2、追击问题：关键是、追击问题：关键是“速度差速度差”甲先从 A 地向 B 地出发，出发了一段时间乙再从 A 地向 B 地出发，他们的速度不一样，后出发的人速度肯定比先出发的人快，在中途相遇了，则2追击的距离=路程差=速度差（大速度-小速度）相遇所需的时间（即：追及时间）3、队伍问题、队伍问题从队尾到队头的时间队伍长度速度差从队头到队尾的时间队伍长度速度和4、沿途数车问题样题、沿途数车问题样题1）两车间距=背后（追及）时间间隔（车速-步速） 火车.自行车同向行进，速度分别为 a、b，火车超过自行车时间为 t，可知火车身长为 s（ab）t2）两车间距
4、=迎面（相遇）时间间隔（车速+步速）5、流水行程问题、流水行程问题顺水速度=般速+水速 逆水速度=船速-水速 顺水速度-逆水速度=2 水速 顺水速度+逆水速度=2 船速顺流的路程差=顺流速度*顺流时间差 逆流的路程差=逆流速度*逆流时间差顺流路程=顺流速度顺流时间=（船速+水速）顺流时间 逆流路程=逆流速度逆流时间=（船速-水速）逆流时间 6、环形运动问题：、环形运动问题： 环形周长=（大速度+小速度）相向运动的两人两次相遇的时间间隔 环形周长=（大速度-小速度）同向运动的两人两次相遇的时间间隔7、加速度公式 ： SV0T+(aT/2)T V0：初速度 aT：末速度 T：经过的时间三、工程问题
5、三、工程问题31、工程量问题、工程量问题工作总量工作效率=工作时间可以把全工程看做“1”，工作要 n 天完成推知其工作效率为 1n，两组共同完成的工作效率为(1n1)+(1n2)，2、牛吃草问题、牛吃草问题求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量- 生长的草量= 消耗原有草量); 吃草效率（头数虚拟单位效率 1）草生长率时间 是一个恒定量。（牛天数多牛天数少）（天数多天数少）=每天新增草量=牛头数-原草量牛天数3、抽水问题动机效率（台数虚拟单位效率 1）渗水率时间 是一个恒定量四、商业中的百分数问题四、商业中的百分数问题1、商品销售问题、利润问题、商品销售问题、利润问题利润=卖价（定价折扣）-成
6、本=成本（进价）利润率2、利息和利率的问题、利息和利率的问题本息和=本金+利息=本金（1+利率期数)五、日期问题五、日期问题1、日历问题、日历问题计算月日要记住几条法则。每过一年星期数加一，但是闰年加二每过一年星期数加一，但是闰年加二一是每年的 1、3、5、7、8、10、12 这七个月是 31 天；二是每年的 4、6、9、11 这四个月是 30 天4三是每年的 2 月，如果年份能被 4 整除，则该年的 2 月是 29 天(如 2004 年)，如果该年的年份不能被 4 整除，则是 28 天(如 2005 年)。计算星期几时，需将天数7，余数与原星期数相加，若得数大于 7 时则需减 7，所得之数就
7、是所求的星期几2 闰年的判定关键：闰年为 366 天，一般来说，用年份除以 4，能整除就是闰年。但是，整百年份要除以 400。比如 1900 年不是闰年，1600 年是闰年 3、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题）、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题） （1）时针与分针一昼夜重合 22 次，成 180也是 22 次；垂直 44 次（2）夹角公式 分钟数=角度差/速度差0 时（12 时）的刻度线为 0 度起点线，时针每小时走时针每小时走 30 度，每分钟走度，每分钟走 05 度；分针每度；分针每分钟走分钟走 6 度度；分针与时针的速度差为 55 度。 分钟数=角度差/速度差任意时间的
8、夹角公式：任意时间的夹角公式：a=|5.5Y30X| a 为所要夹角度数为所要夹角度数解： X 时 Y 分时，时针与 0 度起点线的夹角是：30X0.5Y X 时 Y 分时，分针与 0 度起点线的夹角是：6Y 所以 X 时 Y 分时，分针与时针的夹角 |6Y(30X0.5Y)|5.5Y30X|（3）钟表重合公式，公式为： x/5=(x+a)/60 a 为时钟前面的格数。 X 时时 Y 分时两针重合的公式是：分时两针重合的公式是：Y=60X/11解：两个角度相等时两针重合，所以 30X0.5Y6Y 所以 Y60X/112、年龄问题、年龄问题年龄问题的核心是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却
9、年年不同。几年后年龄年龄差倍数差一小年龄， 几年前年龄小年龄一年龄差倍数差。 5Ab 与 ba 的差是 s 的 4 倍，则有 4sa10b（b10a）经常用于祖孙三代年龄问题3、任期算法、任期算法例假如某社规定，每位主任都任职一届，一届任期 4 年，那么 10 年期间该社最多有几位主任任职?A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B。104114六、抽屉问题六、抽屉问题1、抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。、抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。抽屉原理 1：把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的物体。 抽屉原理 2：把多于 mn 个
10、的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 m1 个或多于 ml 个的物体。 抽屉原理还可以反过来理解：假如把 nl 个苹果放到 n 个抽屉里，放 2 个苹果或 2 个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放 2 个或 2 个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放 1 个苹果，n 个抽屉最多有 n 个苹果，与“n+1 个苹果”的条件矛盾。运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把 n 个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为 12 类，自然数可按被 3 除所得余数分为 3 类，等等。2、错排问题、装错信封问题、错排问题、装错信封问题有 N
11、 封信和 N 个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数记作 Dn则 D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。3、伯努力利概率、伯努力利概率某人一次射击中靶的概率是/，射击次，至少两次中靶的概率是（ D）/ / / /6伯努利概率击中概率 3/5，则没击中概率 2/5=至少两次击中的概率=两次击中的概率+三次击中的概率=C(2,3)*(3/5)2*(2/5)1+C(3,3)*(3/5)3*(2/5)0= 81/125从 0 到 9 这 10 个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为 8 时，出现 5 的概率是多少？答：和
12、为 8 有 9 种，其中 5 有 2 种，则 2/9七、几何问题七、几何问题1、面积问题、面积问题常用的方法是：割补法三角形 s=1/2ah 长方形 s=ab 正方形 s=aa 圆形 s=1/4d2球体积4PIr 的立方/3 球表面积4PIr 的平方锥体体积1/3 sh对角线垂直梯形的面积，等于两对角线的乘积的一半2、方阵问题、方阵问题 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同每向里一层，每边上的人数就少2每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人数=每边人数一 14； 中实方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）（4）去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21 中空方阵
13、总人数=（每边人数一层数）层数4 3、边长为 N 的立方体由边长为 1 的小立方体组成，一共有 N3 个小立方体，露在外面的小立方体共有 N3（N2）3 7边长为 ABC 的长方体由边长为 1 的小立方体组成，一共有 abc 个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc（a2）（b2）（c2）4、圆分割平面公式：几个圆相交最多把平面分割成 N2N+2 5、n 条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)F(n1) F(n2) 如 f（11）19 6、用求包裹立方体的纸的大小，要求 1.纸的面积大于立方体表面积 2.要求纸的长宽要大于立方体的展开的边幅。八、溶液问题八、溶液问题1、溶液浓度溶质的质
14、量/溶液的质量100溶液=溶质+溶剂=溶质/浓度2、多次混合问题核心公式： （1）、设盐水瓶中盐水的质量为 M，每次操作先倒出先倒出 N 克盐水克盐水，再倒入 N 克清水。 Cn=Co（1-N/M）nCn 为新浓度，Co 为原浓度 （2）、设盐水瓶中盐水的质量为 M，每次操作先倒入 N 克清水，再倒出 N 克盐水。 Cn=Co（M/（M+N）nCn 为新浓度，Co 为原浓度 3、有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重 x 克，乙杯盐水重 y 克.现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐水倒出的盐水是多少克 解析：带入公式 m=xy/(x+y)
15、4、溶液配比问题：关键是溶质总量不变某 A 溶液 a 克 2，某乙溶液 b 克 4，按如何比例可配成 3的溶液 a2b43（ab），求出 a/b 即可 九、植树问题九、植树问题81、两端都种、两端都种：也就是说种的棵数比段数多 1棵数=段数+1=全长株柜+12、只种一端：、只种一端：也就是说种的棵数先天段数棵数=段数=全长株柜3、两端都不种：、两端都不种：也就是说种的棵数比段数少 1棵数=段数-1=全长株柜-14、双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树的 2 倍。5、封闭型植树，即首尾相连型 棵树=线路总长株距6、楼梯问题楼梯台阶数=层间台阶数(层数-1) 因为一层没楼梯，不需要上楼梯，所以需减 1十、其它问题十、其它问题1、集合问题：容斥原理两者都满足最少个数=总数-（总数-满一个数）-（总数-满二个数）2、“X00”页码中数字出现次数页码中数字出现次数如果数字小于 X，则为：100+X00/10*2，依次类推，1000+X000/10*3（看 X 后“0”个数）如果数字大于 X，则为：X00/10*2，依次类推，X000/10*3如果数字等于 X，则为：X00/10*2+1，依次类推，X000/10*3+1（注意含“X”本身）3、鸡兔同笼计算法（关键是、鸡兔同笼计算法（关键是“总脚数总脚数”不变）不变）总脚数=兔脚数 兔总数+鸡脚数鸡头数4
