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1、第四章第四章 平方逼近平方逼近教学目的及要求：教学目的及要求：掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼近问题。近问题。本书第二章是用数量)()(maxxfxpfpbxa来度量逼近多项式与已知函数的近似程度。若)(xp)(xf则意味着序列在区间上一致收敛到。, 0)()(nxfxpn)(xpn,ba)(xf一致逼近度量，亦称 Tchebyshev 度量是很重要的一类度量标准。然而由于它的非线性特性，使得最佳一致逼近多项式的构造问题十分困难。对于许多问题来讲，人们需要求出的是在确定意义下的“整体”近似。
2、本章讨论一类新的度量-平方度量意义下函数的逼近问题。先从最小二乘法谈起。1. 最小二乘法最小二乘法最小二乘法起源于以测量和观测为基础的天文学。Gauss 在 1794 年利用最小二乘法解决了多余观测问题，当时他只有十七岁。可以用下面的简单例子描述这类问题。假定通过观测或实验得到如下一组数据（即列表函数）：k12345678kx01234567ky1.41.31.41.11.31.81.62.3我们的目的是一简单的式子表出这些数据间的关系。从分析数据看出，这些点差不多分布在一条直线上，因此我们自然想到用线性式表示它们之间baxy的关系。这就须定出参数和的值来。这实际上是多余观测问题，用插值法ab
3、不能确定出和的值。代定参数的确定归结为矛盾方程组的求解问题。ab假定有某方法可以定出和，则按，给出一个便可以算出一个abbxayx。我们记y).8 , 1(Lkbxayk称为的估计值，显然它们不会是完全相同的，它们之间的差（通常称为残kyky差）)8 , 1(Lkyykkk无疑是衡量被确定的参数和（也就是近似多项式）好坏的重要标abbaxy志。可以规定许多原则来确定参数。例如ba,（1） 参数的确定，将使残差绝对值中最大的一个达到最小，即为最小；k kTmax（2） 参数的确定，将使残差绝对值之和达到最小，即为最小； kk（3） 参数的确定，将使残差的平方和达到最小，即为最小。2 k（1） 和
4、（2）两个原则是很直观的，也很理想，但很不好用；而原则（3）既直观又很好用。按原则（3）确定待定参数，从而得到近似多项式的方法，就是通常所说的最小二乘法。这一方法的理论根据是，概率理论已证明，只有这样的原则才能使得观测或实验的偶然误差对于所作的近似多项式有最小的影响。回到所提出的问题上来，即用最小二乘法确定参数。按最小二乘法，应ba,使 siiibaybaS12)(),(取最小值。因此，应有. 0)(2, 0)(28181iiiiiiixbaybSbayaS由此，得到如下线性方程组：.,81812818181810iii ii iiii ii iyxxbxayxbia经过简单计算，这个方程组成
5、为 .3 .4714028,2 .12288baba解之可得从而得近似多项式,110. 0,142. 1ba.110. 0142. 1)(1xxp现在转入讨论更为一般的情形。设已知列表函数并), 1 , 0)(mixfyiiL且我们想用一个通常的次多项式)(mn n nnxaxaaxpL10)(（1.1）去近似它。问题是应该如何选择使能较好地近似列表函数naaa,10L)(xpn。按最小二乘法，应该选择使得)(xfnaaa,10L miininxpxfaaaS02 10)()(),(L取最小。注意到 S 是非负的，且是的 2 次多项式，它必有最小值。naaa,10L求 S 对的偏导数，并令其等
6、于零，得到naaa,10L)., 1 , 0(0)(010nkxxaxaayk imin iniiLL 进一步，可以将它们写成)., 1 , 0(001 1 00 0nkxaxaxaxymink inmik imik imik iiLL 引进记号和 mik ikxs0,0 mik iikxyu则上述方程组为 .,211011120101100nnnnnnnnnuasasasuasasasuasasasLLLLLLLLLLLLLLL(1.3)它的系数行列式是.21121101nnnnnnsssssssssXLMMMLL 由的定义及行列式性质，可以断言)2 , 1 , 0(nisiL.),()!1
7、(12 101nnWnXL(1.4)此处符号 W 表 Vandermonde 行列式，而是对所有可能的求), 1 , 0(niiL和（每个可以取值并且当时） 。i,10mxxxLji ji由（1.4）式及 Vandermonde 行列式的性质可知，当互异时，mxxx,10L. 0111),(1022 12 01010n nnnnnnW LMMMLLLL从而，方程组有唯一解且它们使取,001nX3 . 1,10naaaL2 . 1极小值.如此，我们应用最小二乘法找到了的近似多项式. xf xpn在利用最小二乘法组成和式时，所有点都起到了同样的作用，但是2 . 1ix有时依据某种理由认为中的某些项
8、的作用大些，而另外一些作用小些（例如，一些是由精度较高的仪器或操作上比较熟练的人员获得的，自然应该予以较iy大的信任） ，这在数学上表现为用和 miiniixpxf02替代和取最小值.且通常称之为权；而为加权和.2 . 1, 0i, 11 niii5 . 1例例 1 设已知函数的表列值为 xfx 0.2 0.5 0.7 0.85 1y1.221 1.649 2.014 2.340 2.718试按最小二乘法构造的二次近似多项式. xf解解 经过简单计算可得关于参数,和的方程组（参阅下面的第一个0a1a2a表）：5+3.250+2.503=9.942 0a1a2a3.250+2.503+2.090
9、=7.185 0a1a2a2.503+2.090+1.826=5.857 0a1a2a解之，得 =0.928, =0.751, =1.036.故 2a1a0a=0.928+0.751+1.036. xp22xx0x1x2x3x4xyxyyx2111110.20.50.70.8510.04 0.25 0.49 0.723 1 0.008 0.125 0.343 0.614 10.002 0.063 0.240 0.522 11.221 1.649 2.014 2.340 2.718 0.244 0.824 1.410 1.989 2.718 0.0490.412 0.997 1.690 2.71
10、8 53.2502.5032.0901.8269.9427.1855.857下表给出了在结点处的误差. xp2x0.2 0.5 0.7 0.85 1y1.221 1.649 2.014 2.340 2.718 xp21.223 1.644 2.017 2.344 2.715 xpy2-0.002 0.005 -0.003 -0.004 0.003用多项式去近似一个给定的列表函数（即给 n nnxaxaaxpL10出的一组观测值）时，需要确定的参数是而可 iixfy ;,10naaaL xpn以看成是的线性函数.但是有时在利用观测或实验数据去确定一个naaa,10L经验公式时，往往要确定的函数和
11、待定参数之间不具有线性形式的关系.这样问题就变得有些复杂.然而，常常可以通过变量替换使其线性化.例如：有时，我们希望用如下类型的函数：10,yxd;,2xydyxdo（所谓三角不等式） ，zydyxdzxd,3o那么集合便叫做“距离空间” ，而称为元素与间的距离.Syxd,xy就空间来看，如果令2 L,gfgfd则条件与显然被满足，而条件相当于o1o2o3,hggfhf其中均属于.由于所以这个不等式是可以hgf,2 L ,hggfhf从范数性质 3 推导出来的.因此又作成一个距离空间.2 L仿空间的理论，我们也可对中的元素序列引进平均收2L2 LLL,2, 1nfff敛性概念.假如则称序列平均
12、收敛于，记作, 0lim 0 ffn n xfn xf完全类似地，假如 .2 nxfxfn ,0nmffnm则称为中的基本序列. 还可以证明，空间理论中的 Fischer 定理在此 nf2 L2L仍然成立.亦即，凡中的基本序列必有极限且极限函数仍在中（这也就是2 L2 L关于空间的完备性定理）.2 L3. 直交函数系与广义直交函数系与广义 Fourier 级数级数设为定义在闭区间上的权函数.如果函数与满足条件： xba, xf xg , 0dxxgxfxba则说函数与在上关于权函数是直交的.如果函数系统fgba, x LL,21xxxk中每一对函数在区间上关于权函数均为直交，则称该系统为区ba
13、, xba,间上关于权函数的直交函数系.特别，若那就可以不必提到权函 x , 1x数.让我们在这里列举几个最常见的直交函数系.例例 1 三角函数系LL,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx是定义在闭区间上的直交函数系.,例例 2 余弦函数系与正弦函数系LLLL ,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos, 1 nxxxnxxx均是上的直交函数系., 0例例 3 Legendre 多项式 L, 2 , 1 , 01!212nxdxd nxpnnnn是区间上的直交多项式系.1 , 1例例 4 Tchebyshev 多项式系是区间上对权函数而 L, 2
14、, 1 , 0arccoscosnxnxTn1 , 121 21 x言的直交系.例例 5 考虑 Sturm-Liouville 型微分方程边值问题：此处是定义在上的连续函数， , 0, 0 byayyxy 0xba,而为数值参数.除去平凡解不予考虑之外，凡不恒等于零的解均 0xy xy称为基本函数，而对应的值称为特征值（注意并非任何值都对应有基本函数）.根据微分方程理论，上述问题的特征值总是存在的，而且除常数因子不计外，对应于每一特征值都只有一个基本函数.特征值可以由小到大的排列起来，因而对应的基本函数也可以排成一列，例如： .,321321 LLxyxyxy可以证明，上列的基本函数系在闭区间上关于权是直交系.ba, x事实上，假如则, ki . 0, 0 “kkkiiiyxyyxy用分别乘以第一、第二式，再相减可得：ikyy
