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1、112 怎怎样样求求电电容器的容器的电电容和能量容和能量一、电容的计算一、电容的计算电容的计算一般有三种方法：1、 利用电容的定义式来计算，具体步骤如下：QQCUU先计算电场强度，进而计算电势差。在电势差的表达式中，已经包含了电量与电UQ势差 U 的比值，因此，对电势差表达式进行整理，即可由电容的定义算得电QQCUU容。2、 通过电容器的储能公式来计算；由WeC； 或者是2211 22eQWCUCUQWeC.3、 对于串联、并联、混联，可用前面两种方法，但往往直接用电容的串、并联计算公式更为方便。即：串联时： 111niiCC并联时： 1ni iCC二、电容器储能的计算二、电容器储能的计算电容
2、器的储能公式为：2 22 211(1)222 111(2)222QWQUCUC DWEDVE VV式中 -电容主板间电势差UV-电容器极板间电场所占的空间因为故式(1)、(2)是一致的。,SCUEdd储能计算时要注意 L 是维持电量 Q 不变(电容器充电后与电源断开), 还是维持电压不变(电容器充电后，不与电源断开)，否则就会把题做错。例如：有人问：如增大UC，由可知 W 应增加；但从看，W 又应减小。究竟应该是增加还2 2CWU22QWC2是减小？同一习题之所以出现矛盾的结果 ，是因为问题本身不够明确：没有说明是 Q 不变，还是不变。如在 Q 不变下增大 C，则由看，W 应该减小；因，U22
3、QWCQCUC 增大时将减小，故从看，W 也应减小。U例 1球形电容器由半径为 R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间有两层同心的均匀介质球壳，介质常数分别为、，两介持的分界面的半12径为 R2，导体球壳的内半径为 R3 (图 2-12-1) 。已知球壳不带电，内球带电+Q，求球形电容器的电容。分析球壳的带电总量为零，但在内球的静电感应的情况下，其内表面带负电，外表面带正电，电场具有对称性，电位移矢量QQ垢方向沿半径向外。Dr解利用电容的定义式来计算。QCu1、 计算各场区的场强：区：以半径为 r 的同心球面为高斯面，利用有介质时的高斯定理得：2 1112,4,4sQD dsQDrQDrr
4、r11DEQ1 12 114DQEr区：同理可知： 12 24QEr2、 计算内球与球壳间的电势差U2311223121222 12112223*2321113212123441111 444RRRRRRRRRRUE dlE drE drQQdrdrrrQQ RRRRQRRRRRRR R R rr*式中已包含了，故易得：Q U12123232111324R R RQCURRRRRR 3、 利用电容的定义求电容3例 2五个电容连接如图 2-12-2 所示，在 AB 间加 30V，求各电容器上的电量以及AB 间的总电容，设五个电容器上123451,2,2,1,3CF CF CF CF CF的电量以
5、 Q1、Q2、Q3、Q4、Q5表示。解由：3510QQQ4520QQQ得：315QQQ425QQQ就电势差而言：沿 APB 支路： 1513012QQQ沿 ARB 支路： 2523023QQQ沿 APRA 支路： 512 132QQQ由上列方程可以解得：12531542570404070,10,3333QcQcQcQQQcQQQc上述结果是可信的，因为电路与相应的电势方程具有对称性，与、与分别1Q4Q2Q3Q相等，是理所当然的。为了求总电容，让我们看 A 侧、B 侧的电量。在 A 侧：；12110 3QQc在 B 侧：，根据电容的定义，合电容为：3412110 3QQQQc 110 113 3
6、09QCFU例 3一厚度为 b 之铜板，插入平行板电容器的两极中央。求电容 (图 2-12-3)。分析设平行板电容器极板的面积为 S，板间距离为 d，则电容为：0SCd4铜板插入后，铜 板在静电场的作用下在表面产生感应电荷，它与极板上的电荷面密度相等(因为这时才达到静电平衡)。因此铜板插入后，等于两个电容 (极板间的距离为)的串联。,或者说，2db等于电容(极板间距离为)的串联，或者说等于电容器两板间距由 d 缩短为 d-b。2db解铜板插入后，形成两电容器 C1、C2的串联：0 122SCCdb故总的等效电容为： 12 1 121 2C CSCCCCdb将题目化一下：如铜板不是正好插在平板电
7、容器的中央，结果又将如何变化(图 2-12-3)？分析设铜板与上极板距为，则与下极板间距为 d-b-d1，铜板插入后仍看为两个电1d容的串联：00 12 11,SSCCddbd总的等效电容为：C111200111ddbd CCCSS0SCdb可见，结果没有变化。为什么等效电容与铜板在两极板间的位置无关呢？因为这种插入方式，相当于把电容器极板间距缩短。不管铜板是否插在中央，极板间距由 d 缩短为 d-b，因而结果不发生变化。将题目再化一下：如以相对介电系数为的介电介质板代替铀板，结果是否仍然相同？r分析电介质插入后，表面要产生束缚电荷，但束缚电荷总是比极板上的自由电荷要少。这时不能如上述一样，把
8、它看为两个电容器的串联，因为：电介质板表面的电荷不是自由电荷；介质的场强不为零。有一点是肯定的，若电容需增大。这时可根据电容的5公式，将介质板插入后的电容求出来。QCV要求 V， 先求 E。计算设极板的电荷面密度为，则在真空中的场强为；在介质中的场强为0 0E ，故檄板间的电势差为：0rE 0 00rdbbVEdbEb 因此总电容为：0rSSCbVdb 插入介质板前后电容的比值为：01Cd Cdbb如，即相当于插入的不是介质板，而是金属板，则：r 0Cd Cdb与前面的结果一致。例 4半径分别为 R1、R2的同心导体球壳(图 2-12-4)。求内球壳接地时的总电容。解设内球带电+Q，则根据高斯
9、定理可知，外球的内表面带电-Q，它的外表面带电，这样内球壳的外表面与外球壳的内表面构成一个电容器，同时，外球211RRQQR 壳的外表面与无限远处也形成一个电容器。假设它们的电容分别为 C1、C2。球形电容器的电容为。由此可见，当12 10 214R RCRR时，即得弧立球的电容，按题设条件，2R 2024CR故总电容为：2 122 12020 122144R RRCCCRRRRR6讨论此题要求的总电容是按并联计算的。也就是说，内球接地后，把大地与无限远- 处都作为电势零点，不然是不可以按并联而论的。有人说，把内球接地后作为电势零点，则在无限远处，就不可能再作为电势零点了。 。因此，此题要求的
10、总电容是按串联公式来计算。两种说法哪一种对呢？请思考的。例 5一同心球形电容器内外径分别为 R1=5.00cm，r2=6.00cm ，电容器中有一半空间充有电解质(图 2-12-5)，求电容(不计电场在两半球交界面上的弯曲。)7.00r解法一设两球间的电势差为 U，在两球面间无电介质部分，内球面的半个上有电量为，在有电介质部分内球的0Q半个上的电荷为，电容器中各部分电场沿半径方向，故在Q每一部分用的一部分球面和的一部分球面以及12RR11rR与半径平行的侧面构成之闭合面为高斯面，由于侧面上的通量为 0，半径为 r 的部分球面上 D 为 0，则通过此闭合面之总的通量为：DdsDSrr高斯面中的自
11、由电荷为：或1 02 12RSQR1 2 12RSQR而，故在电容器的两部分各得： 122 2:RPSSRr1100 022 122 12222RrRrSQQDRSrSQQDRSr 两部分的场强为：00 02 002 0022rrDQErDQEr 再分别求电势差：212100 2 00122 001211 2211 22RRRRrrQQUdrrRRQQUdrrRR 7于是得电量：12 00 2112 0 2122rR RQURRR RQURR 内球面上的总电量为：12 00 2121rR RQQQURR故总的电容量为： 12 0 21222210215 106 1028.85 10 1 76
12、105 10 1.33 10133()rR RQCURRFPF 解法二把整个电容器看作两个电容并联，一个是没有充介质的，一个是充有介质的半球形电容。其电容是同心球形电容的一半：12 10 2112 20 2122rR RCRRR RCRR 两者并联电容为：12 120 2121133rR RCCCpFRR例 6如图 2-12-6 所示，求 A 障总电容。解从左向右不易算，应该从右向左逐步合成。P1R1间的电容： 1C 1 111111113 CCCCCQ 11 3CC间的电容：22P R 2C 211 223CCCCCABC1C1C1C1C1C1C2C2C1P1P2P3P4R1R2R3R4图
13、2-12-68间的电容：33PR 3C 3112 32 111231111,56C CCCCCCCCCQ间的电容：44P R 4C 22 431122 2 1286 56CC CCCCCCCAB 间的总电容 C： 22 11122 224 111122(86)1111,72212C CC CCCCCCCC CCCQ例 7平板电容器的极板面积为 S，间距为 x，现将其间距从 x 增大到，当xdx极板间电势差不变时；当极板上电量 Q 不变时，电容器的能量变化多大？U解平行板电容器的电容，其能量为0SCx21 2WCU(1) 在2 11W =UdC2Ucontd时0 2SdCdxx Q2 200 1221 22SUSdWUdxdxxx (2) 在 Q=cont 时：221 2QWCQ2221 22QQdWddCCC 设极板间距离为 x，电为 Q 时，其间电势差为，则UQCU22 2 222 200 221 221 22CUdWdCUdCCSUSUdxdxxx 讨论当时，。于是。平行板电容器极板上，一0dx 0dC 120,0dWdW而块正电，一块带负电，正、负电荷互相吸引，要将两板距离拉开一段距离，就得克服吸引9力作功，于是电容器能量增加，即和一样应该都是正的。为什么 dW1小于零呢？1dW2dW这是因
