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1、 实验研讨四：方波信号频谱分析(10)1回答下列问题（1）周期函数如何分解成傅里叶级数？能分解的条件是什么？f(t)=a0+a1cos(1 1t)+t)+a2 2cos(2cos(21 1t)+t)+b1sin(sin(1 1t)+t)+b2sin(2sin(21 1t)+t)+= = + + k=1,2,3,k=1,2,3, 0a)sin()cos(1 11 1tkbtkakk kk能分解的条件是给定的周期函数 f(t)满足狄里赫利条件（1）周周期函数极值点的数目为有限个；（期函数极值点的数目为有限个；（2 2）间断点的数目为有限个；）间断点的数目为有限个；（3 3）在一个周期内绝对可积，即
2、：）在一个周期内绝对可积，即：（2）什么是基波、谐波、频谱、单边幅度谱、谐波分析？基波就是将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率与原信号频率相同的波形；基波就是将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率与原信号频率相同的波形；谐波是指周期函数或周期性的波形中不能用谐波是指周期函数或周期性的波形中不能用常数常数、与原函数的最小正周期相同、与原函数的最小正周期相同 的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的波形；的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的波形； 频谱就是用线段的高度表示各次谐波振幅而画出的图；频谱就是用线段的高度表示各次谐波振幅而画出的图； 单边幅度谱是只考虑频率为正数部分得到的频谱；单边幅度谱是
3、只考虑频率为正数部分得到的频谱；谐波分析就是将一个周期函数展开或分解为一系列谐波之和的傅里叶级数。谐波分析就是将一个周期函数展开或分解为一系列谐波之和的傅里叶级数。2.(1)根据图 4-1，写出 f(t)在一个周期内的表达式图 4-1f(t)= 1, 0tT/2-1, T/2tTttfT d )(0(2)写出 f(t)的傅里叶级数展开式，计算 a0,ak,bkf(t)=a0+a1cos(1 1t)+t)+a2 2cos(2cos(21 1t)+t)+b1sin(sin(1 1t)+t)+b2sin(2sin(21 1t)+t)+= = + k=1,2,3, 0a)sin()cos(1 11 1
4、tkbtkakk kk式中 ak、bk称为傅里叶系数，可由下式求得：， 220)(1TTdttfTa， 221)cos()(2TTkdttktfTa， 221)sin()(2TTkdttktfTb(3)用 MATLAB 软件实现上述方波的分解与合成%ex3.1方波分解与合成t=0:0.01:6*pi; f1=4/pi*sin(t); % 基波 f3=4/pi*(sin(3*t)/3); %三次谐波f5=4/pi*(sin(5*t)/5); f7=4/pi*(sin(7*t)/7); f9=4/pi*(sin(9*t)/9); f11=4/pi*(sin(11*t)/11); f13=4/pi*
5、(sin(13*t)/13); f15=4/pi*(sin(15*t)/15); f17=4/pi*(sin(17*t)/17); f19=4/pi*(sin(19*t)/19); y1=f1+f3; y2=f1+f3+f5; y3=f1+f3+f5+f7+f9; y4=f1+f3+f5+f7+f9+f11; y5=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13; y6=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13+f15; y7=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13+f15+f17; y8=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13+f15+f17+f19; subplot(3,3,
6、1) %在第一个子窗口画基波分量plot(t,f1),hold on y=1*sign(pi-t); %画方波信号plot(t,y,r:) title(基波)subplot(3,3,2) %在第二个子窗口画 (基波+3 次谐波)分量plot(t,y1),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(基波+3 次谐波) subplot(3,3,3) %在第三个子窗口画 (基波+3 次谐波+ 5 次谐波)分量plot(t,y2),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(基波+到 5 次谐波) subplot(3,
7、3,4) %第四个子窗口画 (基波+3 次谐波+5 次谐波+7 次谐波+9 次谐波)分量plot(t,y3),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(-基波+到 9 次谐波) subplot(3,3,5) %第 5 个子窗口画 (基波+3 次谐波+5 次谐波+7 次谐波+9 次谐波+11 次谐波)分量plot(t,y4),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(-基波+到 11 次谐波) subplot(3,3,6) %第 6 个子窗口画 (基波+3 次谐波+5 次谐波+7 次谐波+9 次谐波+11 次
8、谐波)分量plot(t,y5),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(-基波+到 13 次谐波) subplot(3,3,7) %第 7 个子窗口画 (基波+3 次谐波+5 次谐波+7 次谐波+9 次谐波+11 次谐波+13 次谐波)分量plot(t,y6),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(-基波+到 15 次谐波) subplot(3,3,8) %第 8 个子窗口画 (基波+3 次谐波+5 次谐波+7 次谐波+9 次谐波+11 次谐波+13 次谐波+15 次谐波)分量plot(t,y7),h
9、old on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:) title(-基波+到 17 次谐波) subplot(3,3,9) %第 9 个子窗口画 (基波+3 次谐波+5 次谐波+7 次谐波+9 次谐波+11 次谐波+13 次谐波+15 次谐波)分量plot(t,y8),hold on y=1*sign(pi-t); plot(t,y,r:)title(-基波+到 19 次谐波)图形：(4)程序运行结果，结论分析。从图中可以明显看到：谐波次数越高，就越接近方波，从第从图中可以明显看到：谐波次数越高，就越接近方波，从第 5 到第到第19 次现象很明显，可以预测如果谐波次数无穷大，
10、就会产生理想的次现象很明显，可以预测如果谐波次数无穷大，就会产生理想的方波。方波。3.观察图 4-2 中周期方波信号的单边频谱图图 4-2(1)根据 MATLAB 程序给出运行结果，并列出 A0,A1m,A2m% ex2.2 周期方波脉冲及单边频谱 function A_sym,B_sym=CTFSdbfb(T,Nf,Nn) % 采用符号计算求0,T内时间函数的三角级数展开系数。 %函数的输入输出都是数值量 % Nf谐波的阶数 %Nn输出数据的准确位数 %A_sym第 1 元素是直流项，其后元素依次是 1,2,3.次谐波 cos 项展开系数 %B_sym第 2,3,4,.元素依次是 1,2,3
11、.次谐波 sin 项展开系数 syms t n k y T=7; if nargin4;Nf=input(pleas Input 所需展开的最高谐波次数:);end T=7; if nargin5;Nn=32;end y=time_fun_s(t); A0=2*int(y,t,0,T)/T; As=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); Bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); A_sym(1)=double(vpa(A0,Nn); for k=1:NfA_sym(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn);B_
12、sym(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn);endif nargout=0 S1=fliplr(A_sym); %对 A_sym 阵左右对称交换 S1(1,k+1)=A_sym(1); %A_sym 的 1*k 阵扩展为 1*(k+1)阵S2=fliplr(1/2*S1); %对扩展后的 S1 阵左右对称交换回原位置S3=fliplr(1/2*B_sym); %对 B_sym 阵左右对称交换 S3(1,k+1)=0; %B_sym 的 1*k 阵扩展为 1*(k+1)阵S4=fliplr(S3); %对扩展后的 S3 阵左右对称交换回原位置 S5=S2-i*S4;
13、 Akm=abs(S5) N=Nf*2*pi/T;k2=0:2*pi/T:N;subplot(3,3,3)x=squ_timefun(t,T) %调用连续时间函数-周期方波脉冲T=7;t=-2*T:0.01:2*T;plot(t,x)title(周期方波脉冲)axis(-10,10,-1,1.2)line(-10,10,0,0)subplot(3,1,3)stem(k2,abs(S5); %画出周期方波脉冲的频谱（脉宽 a=T/2）title(周期方波脉冲的单边频谱)axis(0,60,0,0.6);end %- function y=time_fun_s(t) % 该函数是 CTFSdbfb
14、.m 的子函数。它由符号变量和表达式写成。 syms a a1 T=7;a=T/2; y1=sym(Heaviside(t)*2-sym(Heaviside(t-a1); y=y1-sym(Heaviside(t+a1); y=subs(y,a1,a); y=simple(y);%- function x=squ_timefun(t,T) % 该函数是 CTFSdbfb.m 的子函数,它由方波脉冲函数写成。 %t是时间数组 %T是周期 duty占空比：信号为正的区域在一个周期内所占的百分 T=7;t=-2*T:0.01:2*T;duty=50; x=square(t,duty);(2)归纳方波信号单边频谱的性质。谐波次数越高，该谐波的振幅就越低，只是在趋势上变化越来越慢，谐波次数越高，该谐波的振幅就越低，只是在趋势上变化越来越慢，由于谐波的角频率是由于谐波的角频率是 w1 的正整数倍，所以频谱是离散的。的正整数倍，所以频谱是离散的。Akm=4*Em/(k*3.1415926)体会与总结：如果说单从电路的角度来理解本章前面几节内容的话，体会与总结：如果说单从电路的角度来理解本章前面几节内容的话，应该说是不难
