《数学与应用数学本科毕业论文-浅谈幂级数展开式的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与应用数学本科毕业论文-浅谈幂级数展开式的应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20122012 届本科毕业论文届本科毕业论文浅浅谈幂级谈幂级数展开式的数展开式的应应用用姓姓 名：名： 系系 别：别： 数学系数学系 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 学学 号：号： 指导教师：指导教师： 20122012 年年 2 2 月月 1616 日日2012 届本科生毕业论文1目 录摘要1 关键词1Abstract1 Keywords1 引言2 一基本知识2 1.1幂级数的性质 2 1.2. 幂级数的收敛区间 2 二幂级数的和函数3 三幂级数的展开4 四幂级数的展开及其应用6 4.1. 幂级数在近似计算的应用6 4.2. 幂级数在计算积分得应用6 4.3. 幂级数在求极限
2、中的应用7 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用7 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式8 4.6. 幂级数在求导中的应用9 4.7. 幂级数在不等式的中的应用9 4.8. 幂级数在组合中的应用10 参考文献11 致谢112012 届本科生毕业论文1幂级数展开式的应用摘 要在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。 在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。关键词幂级数；展开式 ；应用Power series expansion of the type of
3、applicationAbstractIn mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In th
4、is article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansionKeywordKeywordPower series; expansion; applicati2012 届本科生毕业论文2引言：幂级数的展开式应用广泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究结果没有集中 起来，现在用我粗浅的知识略把幂级数展开式的应用搜集了一下，以便大家更方便的应用 更好的学习。由幂级数列所产生
5、的函数项级数0naxx2 00010200 0nn nnn naxxaxxaaxxaxxaxxL LL L，称为幂级数，它是一类最简单的函数项级数。从某种意义上说，可以看作是多项式的延伸。幂级数在理论和实际上有很多的应用，尤其是在表示函数方面。特别地当，即00x 是一种重要的情况。2 012 0nn nn na xaa xa xa xL LL L一基本知识1.幂级数的性质（1）. 幂级数 的和函数是内的2 012 0nn nn na xaa xa xa xLL( ), 连续函数。（2）. 幂级数在收敛区间左（右）端点上收2 012 0nn nn na xaa xa xa xLL敛，则其和函数也
6、在这一端上左（右）连续。(3). 设幂级数在收敛区间上的和函2 012 0nn nn na xaa xa xa xLL, 数为，若为内任意一点，则 f xx, ） 、在可导，且 f xx 11n n nfxna x ） 、在 0 与这个区间上可积，且 f xx 1001xnnnaf t dttxn 2.收敛区间设幂级数在的和函数，则0n n na x, s x（1）. 在内连续，若幂级数在也收敛，则在 s x, x x s x2012 届本科生毕业论文3处左连续（或在处右连续） 。x x （2）.在内每一点都是可导的，且有可导公式： s x, 1001n nnn nnn nnnsxa xa x
7、na x 与原幂级数有相同的收敛半径。（3）. 在内可以积分，且有逐项积分公式： s x, ，其中是内任一点，积 10000001nxxnnnn nn nnnas t dta tdtat dtxn x, 分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 二幂级数的和函数 幂级数的和函数在幂级数的计算中有着重要的作用，在计算过程中也有一定的难度， 不过计算过程也要注意计算方法的使用。例 1：求幂级数 的和函数210121n nnx n解： 易知级数的收敛域为1,1令210( )121n nnxs xn有幂级数的逐项可导性得22 2 001( )1()(1)1nnnnns xxxxx对上式两端积分得：20(
8、 )(0)arctan1xdts xstxt( 1,1)x 例 2： 求级数 的和 20112nn nnn解：因为 20112nn nnn=2011122nnnnn n=2221112222nnnn n2012 届本科生毕业论文4其中0112 12312nn下面求22122nnn n设显然收敛域为 221nns xn nx 1,1逐项积分得： 2200221xxnnnns x dtn ntdtnx 在次积分得： 2 1000221xxxnnnnxs x dtntdtxx 1x故 232 11nxs xxx1x= 23 2112122112nnn ns16 271x故原式=+=1 416 272
9、 322 有很多这样的例题，上面的题中主要的方法是逐项求导与逐项求积。逐项可导与逐项可 积是幂级数和函数在其收敛区间上的两个主要分析性质。在很多方面都有重要的应用。在 具体应用时，应根据具体的问题具体分析，再决定用逐项求导或者逐项可积。 三. 幂级数的展开函数的幂级数展开式有两种形式，一种形如称为一般（或叫做函0 0n n naxx数在的幂级数） ，另一种形如称为标准式，即函数在 0 处得幂级数。若函数0x0n n na x在 U内可以展成的幂级数，那么这个幂级数一定是泰勒级数。 f x0,x r0xx当时又称为麦克劳林级数。具体展开式如下：00x 0n n na x在处的泰勒展开（幂级数的展
10、开式）： f x0xx2012 届本科生毕业论文5 200 000002!n n nfxfxf xf xfxxxxxxxxnL（在与之间） 1 1 01 !n n nfxxxn x0x令 200 000002!n nfxfxf xf xfxxxxxxxnLL即为麦克劳林级数。00x 幂级数的展开式中，是一种应用广泛的展开。 1f xx0求出， 01f 0f 201f 011nfn L形式上作用幂级数 2000000!2!nn nnnfffxffxxxnnLL= 211112!nnxxxn LLL当时，即为牛顿二项式定理。下面讨论的情形。求出收敛半径nz11limlim1nnnnanan 分析在
11、收敛区间内，柯西余项1,1，的极限。 因级数 1 !nnxn L01 101 !nnnxn L当1 时收敛（由比试判别法可得） ，故x 1010!nnnxn L由于-1 时，有，且，。又由于x11x 1011x 111nx 1 时，00 绝对收敛，-10 绝对收敛，0 时，收敛域为。1,1四幂级数的展开及其应用 1.幂级数在近似计算的应用 我们通过的近似计算来研究，利用幂级数进行近似计算的方法。可以用的幂级数展开式取=近似计算。arcsinx3 3= ，取得arcsin25711 31 3 5 232 452 4 67xxxx L1,1x 1x 1 11 3 11 3 5 1122 32 4 52 4 6 7 L上式两边同乘以 2 得： 1 11 3 11 3 5 12()2 32 4 52 4 6 7x L它的部分和 1 3 5211 11 3 11 3 5 1122()2 32 4 52
