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1、学科分类号（二级）学科分类号（二级）130.99本科学生毕业论文（设计）本科学生毕业论文（设计）题题 目目 在气垫导轨上阻尼振动的研究在气垫导轨上阻尼振动的研究 姓姓 名名 张张 磊磊 何何 学学 号号 院、院、 系系 物理与电子信息学院物理与电子信息学院 专专 业业 物理学类物理学类 指导教师指导教师 刘刘 燕燕 职称（学历）职称（学历） 副副 教教 授授 1在气垫导轨上阻尼振动的研究在气垫导轨上阻尼振动的研究摘摘 要：要：本文对阻尼振动方程进行了详细的求解，得出阻尼振动的周期公 式；并通过实验数据探究了振子质量及弹簧的劲度系数对阻尼振动的影响。mk 结果表明：滑块的质量不变时，对数减缩率随
2、着弹簧劲度系数的减小反而增大， 弛豫时间和品质因数随着弹簧劲度系数的减小而减小，说明等效弹簧劲度系数 越小时，阻尼振动衰减得越块；弹簧劲度系数不变时，对数减缩率随着滑块上 附加物质量的增加而增大，弛豫时间，品质因数却随着滑块上附加物质量的增 加而减小，说明振子质量越大，阻尼振动衰减得越快。关键词：关键词：阻尼振动；对数减缩；阻尼常量一个实际振动系统由于各种原因，使其振动的能量总是逐渐减少，振幅随时间逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。阻尼振动是力学和电磁学1领域的一种常见的物理现象。很多文献都对阻尼振动进行了讨论，本文对阻尼振动方程进行了详细的推导，得出振动周期公式，在此基础上进一步对影响
3、阻尼振动衰减快慢的主要因素进行了较深入的理论分析和实验论证。1 实实验验原理原理阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图 1 所示，滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力和滑块的速度成正比，即 图 1 阻尼振动实验F 阻Fig.1 damping vibration testdxFbvbdt 阻（1）式中为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹b性力和阻尼力作用下，滑块的运动方程为kxF 阻222d xdxmkxbdtdt= -（2）式中为滑块质量。令，其中常数称为阻尼因数，为振动m2 02,bk mm0系统的固
4、有频率，则式（2-12）可改写为2 2 0220d xdxxdtdt（3）（3）式即为阻尼振动的微分方程。对于固定的气垫导轨、滑块和弹簧，则（3）式中的为定值，则2 02 , 公式（3）为二阶常系数奇次线性微分方程，则它的特征方程为22 020rr（4）根据特征方程（4）的两根的不同情况可按下列表格写出微分方程（3）的通解：特征方程的两根22 020rr1, 2r r微分方程的通解2 020xx两个不相等的实根1, 2r r两个相等的实根12rr一对共轭复根1,2ri12 12rtr txc ec e1 12()rtxcc t e12(cossin)txectct（4）式的两个根为22 022
5、 1,20244 2r 由以上推导可知有下列三种情况：（1）当，为大阻尼情形(过阻尼状态)；0（2）当，为临界阻尼情形（临界阻尼状态） ；0（3）当，为小阻尼情形（欠阻尼状态） 。0在此只讨论小阻尼情形：3当时，特征方程（4）的根，是一对共0fri 22 0()f轭复根，所以方程（3）的通解为12(cossin)t ffxectct（5）在初始时刻设时位置代入（5）式得0t 0xx10cx则（5）式变为02(cossin)t ffxextct对上式求导得 0202(cossin)(sincos)t fft ffffxextctextct （6）在初始时刻设时，有代入（6）式得0t 00tdx
6、dt00200 2ffxc xc 把代入（5）式得12,c c0sin()t fxA et（7）其中令， ， 00cosxA00 0sin fxA(02 )（8）根据积化和差公式，那么（8）式可写成0cos()t fxA et（9）（9）式为阻尼运动微分方程的解。其中，22 0f2 200 002()fxAx 000fxtgx4从（9）式可以看出，阻尼振动中滑块运动的周期为22 022fT （10）2 2 阻尼振动衰减特性及相关因素讨论阻尼振动衰减特性及相关因素讨论2.1 阻尼振动的衰减特性阻尼振动的衰减特性（1）阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如下图 2 所示，即。显然，振幅衰减的0tA
7、A e快慢和阻尼因数的大小有关，而，因而2b m和粘性阻尼常量及振子质量有关。 图 2 阻尼振动曲bm123线 Fig.2 Dampedoscillation curve （2）阻尼振动周期要比无阻尼振动周期略长， 22 022fT 02T 阻尼越大，周期越长。2.2 阻尼振动相关因素讨论阻尼振动相关因素讨论为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间及品质因数来表征。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能Q456量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量的动态测量方法。b2.2.1 对数减缩率对数减缩率对数减缩率是指任一时刻 的振幅和过一个周期后的振幅之比t( )A t()A
8、 tT的对数，即10 () 0lntt TA eTA e （11）由定义可知，对数减缩率越大，阻尼振动衰减得越快；对数减缩率越小，阻尼振动衰减得越慢。公式（11）变形得5T（12）将代入上式，得2b m2mbT（13）即只要得出对数减缩率，就能求得阻尼因数或和阻尼常量的值。 b2.2.2 弛豫时间弛豫时间 弛豫时间是振幅衰减至初值倍所经历的时间，即0A1( 0.368)e21 00tA eA e所以 (14)1T由弛豫时间的定义可知，弛豫时间越短，阻尼振动衰减得越快；弛豫时间越长，阻尼振动衰减得越慢。2.2.3 品质因数品质因数一个振动系统的品质因素又称值，是一个应用极为广泛的概念，它在交Q流
9、电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量与在一个周期中所损耗的能量之比的倍，用表示EE23Q2EQE（15）由此可知，品质因数越小，则越大，即一个周期中所损耗的能量越多，E阻尼振动衰减得越快；品质因数越大，阻尼振动衰减得越慢。阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小乘以运动速率，即等于。在振动时，是一个变量，b2b2b6可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中789的能量损耗等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以E2()EbT平均而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半
10、，即8910222111()()222)mkxEE m平均平均平均（因而 (16)EEbTm综合式（13）、（16）、（17），得出(17)Q从公式（12）、（13）、（17）可知，求出对数减缩率是本文的关键所在。半衰期是指阻尼振动的振幅从初值减到时所经历的时间，记为，则0A0 2A1 hT0 02hTAA e由此可得ln2 hT把公式（11）式代入上式可得（18）ln2hT T 由公式（18）可知，只要测量阻尼振动的周期和半衰期就可以计算出阻尼振动的对数减缩率。通过改变振子质量和等效弹簧劲度系数得到不同的对数减缩率，由对数减缩率又可求出阻尼振动特性的其它量的值，比较不同的对数, , ,bQ
11、7减缩率、弛豫时间和品质因数的大小可得阻尼振动的衰减快慢。Q2.2.42.2.4 等效弹簧劲度系数等效弹簧劲度系数和振子质量和振子质量对三个常数的影响对三个常数的影响km由（10）式可得2 22 022222222222222222244 4 4 4 444 44T kb mmT kb mTm mbmkTmTmT222(4)mkT （19）等效弹簧劲度系数是等效弹簧的一种固有属性，它不随振子质量、对数减km缩率、阻尼振动周期的变化而变化，只要是一组弹簧不变，则等效弹簧劲T度系数为固定值。而在气垫导轨上，振子质量、弹簧劲度系数、阻尼常kmk量不变时，对数减缩率也不变。在已知振子质量、求的对数减缩
12、率时，通过公式（19）可以得出未知的等效弹簧劲度系数的值。由公式（19）可知2224kTm（20）振子质量也是振子本身所固有的一种属性，它不随等效弹簧劲度系数、对mk数减缩率、阻尼振动周期的变化而变化。在不变时，只要知道，T, ,m k , k 即可求得振子质量。由公式（11）可得222 00 2222 411mk b 2 41mk b （21）对数减缩率不是阻尼振动的一种固有属性，它是表征阻尼振动衰减特性的物理8量，由公式（21）可以看出，对数减缩率的大小与振子质量、等效弹簧劲度m系数和阻尼常量有关，而与阻尼振动的周期无关。kb（1）当振子质量和等效弹簧劲度系数不变时，阻尼越大，对数减缩也越
13、大，阻尼振动的振幅衰减得更快；在气垫导轨上滑块质量、弹簧不变时，阻尼常量为一固定值，要想增大阻尼常量，一是加磁阻尼的方法；二是加圆板阻尼的方法。因仪器设备的限制，在此就不做研究了。 （2）让滑块质量不变和效弹簧劲度系数不变两种情况来研究阻尼振动的衰减特性。因阻尼常量随着滑块质量和效弹簧劲度系数的变化而变化，所以通过实验来探究阻尼振动各参数随着等效弹簧劲度系数和振子质量的变化而变化的关系。3 实验测量实例实验测量实例3.1 实验目的实验目的 本实验目的是通过改变振子质量及弹簧的劲度系数，测量阻尼振动的周mk期和半衰期，从而求得阻尼振动的对数减缩率、弛豫时间和品质因数，通过比较不同的对数减缩率、弛
14、豫时间和品质因数的大小来研究阻尼振动的衰减规律。3.2 仪器用具仪器用具图 3 实验仪器装置Fig.3 Experimentalapparatus equipment本实验采用的实验仪器有气垫导轨、光电门、数字毫秒计、滑块、不同劲度系数的弹簧和附加物，实验装置如图 3 所示。 3.3 实验内容与数据实验内容与数据（1）让滑块质量为,采用一组等效劲度系数为的弹簧，振幅为216.44mgk,测量滑块运动的周期和半衰期，测量数据见表 1。20.00Acm1T1hT表表 1 1 滑块运动周期为滑块运动周期为, ,半衰期为半衰期为对应的数据对应的数据1T1hTTab.1 slider movement cycle, half-lifeof the corresponding data1T1hT91 2 3 4
