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1、6 O 数 学通报 2 0 1 4年 第 5 3卷 第 1 1期 再谈圆锥曲线对定点张直角的弦问题 高 文 启 ( 阜 阳第 五 中学2 3 6 0 0 0 ) 文 1 中张忠旺老师讨论了圆锥曲线对定点 张直 角的 弦 的包 络 问 题 ， 得 到 了 其包 络也 是 圆锥 曲线而文 1 的证 明过程 中主要借助于二次 曲 线 不 变量 理论 ， 也 正如该 文所 说“ 在本 文成 稿 过程 中， 遇到许 多繁难的运算和变形” 但借助于 几 何 画板 ， 笔者发 现定 点在 其 张直 角 的弦射 影 的轨 迹是 一个 圆或 者 一 条 直 线 ， 并 日 在 此 基 础上 去 探 讨定点张直角
2、的弦的包络更简单本文主要利用 直线 的参 数方 程 ， 首 先 对 圆锥 曲 线 的 各 种情 形 下 的定 点在 其张 直 角 的 弦 的 射影 的 轨迹 进 行 探 究 ； 进一 步 ， 对 圆锥 曲线 的定 点 张 直 角 的 弦 的包 络 进 行讨 论 1 圆锥 曲线 对 平面 内一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 射 影 的轨迹 1 1 有心 圆锥 曲线对 平面 内一 定 点在 其 张 直 角 的弦 射影 的轨 迹 设 P( 。 ， y 。 ) 为 圆 锥 曲 线 C 1 ： a x 。 + b y 一 1 ( a ， 6 0 ) 所 在 平 面 内一 定 点 C 对 P 张 直
3、 角 的 弦 AB落在直线 上 ， 从 P到 z之上 的垂直射影 点记 为 H( T Y l ， ) 由于直线 AB的法 向量再_ 声一( 。 m， 。 一 ” ) ， 故 直线 z 的参 数方 为 ： f 一 一 () 一 ” + 其 中f 为 参 数 1 y一 ( n m ) t 十 ， 不 妨 设A ( 一( Y (， 一n ) t l +m， ( ) 一m) t l +T I )， B( 一( y ) 一 ) t 2 十 ， ( 。 一 ) t 2 +n) ， 所 以 一( 一 ( yo 一 ”) + _， ， 2 一 ， ( - o ) t 1 + 一 Yo )， PB一 ( 一 (
4、 y o n ) t 2 +m z 0 ， ( 0 一 ) 2 + - y o ) 因为 P A， P B满足 J _ 商 ，、所以 ( -n ) +( () -m) t I z z+ ( ) + ( o 一 ) 。一 0 由于 ( y 。 一 ) +( 。 ) 。 0 ， 故 t 2 +1 0 将直线 z 的参数方程代入曲线 c 的方程可得 6( z 0 -m) 。 +n( y () 一 ) f + 2 6 ( z o ) 一a m( 。 一 ) f +b n 。 +( 2 7 n 。 一1， 故 当 b( 。 一 ) +n( 一” ) 0时 ， 由韦 达定 理 可 得 b “0 + 2 1
5、 一 所 以 b a + _ o ( 0 一 ) +( 。 一 ” ) 整 理可 得 ( “+ 6) + ( a+ b) n 一 2 b x() m 一 2 a yo ”+ b x i a y j 一 1 =0 当 “ +6 0 ， 则 对 上式 配方 町得 ( a+6 ) 由于 t t z = = = 一1 ， 则 当 a +6 一a 6 j a b y j O时 ， 满 足方 程 中的数 对 ( ， ” ) 都 使 方 程 必 有 解因 此， 方程 中 的点 都是 点 P在 其 张直 角的 弦的 射影 由上面讨 论 可得 ， H 轨 迹 方程 C 。为 ： ( 一 ) + ( a y o
6、) 。 a b -a b x a b y j ( n+ 6 ) ( 6 ( 。 ) 。 + ( Yo ) 0) 当 a +b ：0时 ， 则 曲线 C 表 示 等 轴 双 曲线 ， 一 m + 2 0 1 4年 第 5 3卷 第 1 1期 数 学通 报 6 1 若 P ( 。 ， Y ) 不 在 原 点 ， 则 可 得 H 轨 迹 方 程 L 0为 ： 2 b x 【) z +2 a y |1 3 ， 一6 z i - F a y 一1 结论 l 设 P( 。 ， Y 。 ) 为有心 圆锥 曲线 c ： n +b y 。 一1所在 平面 内一定 点 ( i ) 当 d +6 0时， 若 P(
7、。 ， Y 。 ) 满足 a +b a b x 一a b y 0 ， 则 点 P 在其 张直 角 的弦 AB 射影 的轨 迹 C 。方程 为 ： ( 一 b x o ) 。 + ( 一 a y o ) a +b -a b x ： -a b y ： ( “+ 6) ( 6( z z 0 ) +口 ( ( ) ) 。 0 )； ( i i ) 当 a +6 0时 ， 若 P 与 原 点不 重 合 ， 则 点 P在其张直角的弦 AB 的射影的轨迹 L。 方程为 ： 2 b xo z+ 2 a yo b x - Fa y 一 1 事实 上 ， 若 a b ( a +6 ) 0 ， 则 当 P( x 。
8、 ， Y 。 ) 满 足 j + y ； 一 音+ 吉时 ， 过P的 两 条与 曲 线C 相 切 的 直 线 成 直 角， 故圆 + 一 寺+ 古 是曲 线C 的两条相互垂 直的切线交点 的轨迹 ， 它叫做该 曲 线 的准 圆 1 2抛物 线 对 平 面 内一 定点 在 其 张 直 角 的 弦 的 射影 轨迹 设 P( x 。 ， Y 。 ) 为 抛物 线 C ： y 一2 p x( p O ) 所 在平面内一定点抛物线 C 对点 P在其 张直角 的 弦所在 的直 线 AB 上 的射 影为 H ( ， ) 类似上面讨论将直线 AB的参数方程代入曲 线 C。 的方 程可 得 ( o -m) 。
9、t 。 + 2 ( 。 一 ) + ( 0 -n ) t 一 2 pm + 一 0 所 以 当 z 。 时 ， 一2 9 m+ 一 嘉 由 + 1 一。 ， 整理 可得 ( z o ) 。 + =2 p x 0 + 由式可得， 当z 。 要时， 则数对( ， ) 存在， 故可 得 H 轨 迹 C 的方 程 为 ( z lz 。 一 p) 。 + 一2 px o + ( z 0 ) 结论 2 设 P( x Y 。 ) 为 抛 物 线 C ： 一2 p x ( p o ) 所在平面内一定点若 z 。 ， 则点 P 厶 在其张直角弦AB的射影 H 的轨迹 c 的方程 ： ( z ( ) 一 ) 。
10、+ 一2 p x o 十 p 。 ( z 。 ) 事实上， 当 。 一一告， 若直线 P A， P B与抛物 厶 线 相切 ， 则 直 线 P A， P B 的 夹 角 是 直 角 此 时 ， z 一一鲁为该抛物线的准线 厶 2圆 锥 曲线对 平面 内定 点 张直 角的 弦的 包络 2 1 平面内定点对 圆或直线上动点连线 的垂线 的包 络 笔者发现利用上述的结论讨论 圆锥 曲线对平 面 内定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 问 题 更 为 简 单 首 先 ， 笔者讨论平面 内定点对 圆或直线上动点连线 的垂 线 的包络 ， 即有下 列结 论 ： 图 1 图 2 圈 3 命 题 1 设 A
11、 为 圆 0 所 在 平 面 内一 点 ， 圆 ( ) 的半 径 为 a， B为 圆 上一 动点 ， AB垂 直 于动 直线 l 于 B ( 1 ) 如 图 1所示 ， 若 A 为圆 0 内一 点 ， 则 直线 族 l 的包络为一个 以0为中心、 A为焦点 、 为长 半 轴长 的一 个椭 圆 ； ( 2 ) 若 A 为 圆 0 上一 点 ， 则直 线族 川亘过点 A 关于 ( ) 的对称点 ； ( 3 ) 如图 2所示 ， 若 A 为圆 0外一点， 则直线 族 z 的包络为一个 以0为中心、 A为焦点 、 a为实 半轴长的一个双 曲线 证 明 不妨 设 圆 0 的方 程 为 + 。 一n 。
12、设 B( m， ) ， A( c ， 0 ) ( c o ) ， 则 z 的法 向量 一( 一 6 2 数 学通报 2 0 1 4年 第 5 3卷 第 1 1期 f ， “ ) ， 故 直 线 族 ： ( c ) 72 + n y一 。 一 其 中 。 + “ 一2 由上式 消去 I T t 整 理可 得 ( 。 + 2 c x+ c + Y ) ” 一 2 y( f + “。) n n。 ( + C) + ( c + 口 ) 一 0 将 上 式看作 关 于 ”的二 次方 程 ， 必有 其判 别式 1 4 y ( f + n。 ) 一 4( 3 F + 2 c x+ C + ) r 一“ 。(
13、 +f ) + ( f +n ) O ， 化 简可得 ( +c ) E ( a 一f ) z 。 +“ 。 y 一n ( “ 一f ) 0 ( i ) 当 f n时 ， 不难 验 证 ， 动 直线 族 z 的包 络 方 程为 ( “ 一C ) +“ 。 y -a ( n 一C ) 二 = = 0 ， 即 - L ： 一 1 n 2 2 一f2 一 故 当 a c时 ， 其 包 络 为 椭 圆 ； 当 a 1时 ， 定 点 为双 ，直 线 族： 一 一) ( + 直 触的 包 络 为 以 b o g o一 ayoi i )l n y a,T g b b ， 为 、 ( 当f 一“ ， 直 线 族
14、： 一 一 ( 一) ( + “ 一 +， u、 f ) ， 则其 恒 过点 ( 一c ， 0 ) 命 题 2 如 图 3所 示 ，设 A 为 直 线 k外 一 点 ， 且 在 k的射 影为 C， B 为直 线 k上一 动点 ， AB 垂 直 于动 直 线 于 B则 直线 族 的包 络是 以 A 为 焦点 ， C点为 顶点 的抛 物线 证 明 妨 设 k的 方程 一0 设 A ( 一 等 ， 0 ) ， B ( O 川 ) 则 直 线 族 方 程 为 等 r + ” ( y -” ) 一0 将其看作 关于 的二次方程 ， 其判 别 式 为 。 一 一2 p x 0 因此 ， 直 线族 的包 络 是 以 A 为焦 点 ， C点 为顶 点 的抛 物 线 2 2 有 心 圆锥 曲线对 平 面 内定 点 张直 角 的 弦 的 包络 设 P( x 。 ， 。 ) 为 曲线 C ： n 。 +b y = = = 1所 在平 面 内一定 点曲线 ( 对 定 点 P 张 直 角 的 弦所 在 的直 线 为 AB不 难 发 现 ， 点 P在 其 张 直 角 的 弦 的射 影 的轨迹 和该 弦 的包 络 是 共 生 的 ， 故 它 们存 在 条件 也是 一致 的 在 n +b 0的情 况下 ， 当 口 +b a b x i a b y ： O时 ， 由命 题 1可知 ， 讨 论 定点 P 张直 角
