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1、1常微分方程模拟试题常微分方程模拟试题一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）1一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线2二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是3方程02 yyy的基本解组是 4一个不可延展解的存在在区间一定是 区间5方程21ddyxy的常数解是 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6方程yxxy31dd满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ） （A）上半平面 （B）xoy 平面 （C）下半平面 （D）除 y 轴外的全平面7. 方程1ddyxy（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无
2、数个 8)(yf连续可微是保证方程)(ddyfxy解存在且唯一的（ ）条件（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分9二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个 2 维线性空间 （B）构成一个 3 维线性空间（C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间10方程32 3ddyxy过点(0, 0)有（ B ） (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题分，本题共 30 分）求下列方程的通解或通积分：11. yyxylndd12. xy xy xy2)(1dd13. 5 ddxyyxy140)d(d222yyx
3、xxy 153)(2 yyxy 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16求方程255xyy 的通解17求下列方程组的通解 xtytytxddsin1 dd五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）18设)(xf在), 0上连续，且0)(lim xf x，求证：方程)(ddxfyxy2的一切解)(xy，均有0)(lim xy x19在方程0)()( yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数常微分方程模拟试题参考答案常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题
4、共 15 分）12 2线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3xxxe,e 4开 51y 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6D 7C 8B 9C 10A三、计算题（每小题分，本题共 30 分） 11解解： 1y 为常数解 （1 分）当0y，1y时，分离变量取不定积分，得Cxyyydlnd（3 分）通积分为xCyeln （6 分）注注：1y 包含在常数解中，当0c 时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13解解： 方程两端同乘以5y，得xyxyy45 dd（1 分）令 zy4，则xz xyydd dd45，代入上式，得xzxzdd 41（3 分）这是一阶线形微分方程，对应
5、一阶线形齐次方程的通解为4xzce （4 分） 利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为41e4xCzx（5 分）因此原方程通解为41e44xCyx（6 分）14解解： 因为xNxyM 2，所以原方程是全微分方程 （2 分）取)0, 0(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx020dd2 （4 分）计算得 Cyyx32 31（6 分）15解解： 原方程是克莱洛方程，通解为 32CCxy （6 分）四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16解解： 对应齐次方程的特征方程为 052， （1 分） 特征根为 01，52， （2 分）3齐次方程的通解为 xCCy5 21e （
6、4 分）因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为)()(2 1CBxAxxxy （6 分）代入原方程，比较系数确定出31A，51B，252C （9 分） 原方程的通解为 xxxCCyx 252 51 31e235 21 （10 分）17解解： 齐次方程的特征方程为21101 （1 分）特征根为 i （2 分） 求得特征向量为 1 i （3 分）因此齐次方程的通解为 ttCttCyx cossin sin-cos21（4 分）令非齐次方程特解为 tttCtttCyx cossin)(sin-cos)(21（5 分）)(),(21tCtC满足 0sin1)()( cossinsincos21tt
7、CtC tttt（6 分）解得 1)(,sincos)(21tCtttC （8 分）积分，得 ttCsinln)(1，ttC)(2（9 分）通解为 ttttttttttCttCyx cossinlnsin-sinsinlncoscossin sin-cos21（10 分）五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）18证明证明： 设)(xyy 是方程任一解，满足00)(yxy，该解的表达式为0000ede )(e)()(0 xxxxxsxxssfyxy （4 分）取极限0000ede )( limelim)(lim)(0 xxxxxsxxxxxssfyxy4= 000000de )(, 0
8、ee )(limde )(, 0 0 )()()(xxs xxxxxxxsssfxfssf若若（10 分）19证明证明： 设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在 ),(上有定义，且0)(xW又由刘维尔公式x0d)(0e )()( xsspxWxW，),(0x （5 分）)(e )()(x0d)(0xpxWxWxssp由于0)(0xW，0)(xp，于是对一切),(x，有0)( xW 或 0)( xW故 )(xW是),(上的严格单调函数 （10 分）Visa-free policy brings Chengdu biz, tourism boost. Mak
9、ing national headlines several times, Chengdus 72-hour visa-free policy has attracted wide attention from both Chinese and foreign experts and businessmen since it took effect on Sept 1 last year. The program permits citizens from 51 countries and regions including the United States, Australia, Cana
10、da and Japan who have valid visas and flight tickets to a third country to spend three days in the city. The capital of Sichuan province is the first city in the western region of China to offer foreign tourists a three-day visa and the fourth nationwide to adopt the policy following Shanghai, Beiji
11、ng and Guangzhou. Li Zhiyong, deputy dean of the tourism institute at Sichuan University, said the move “contributes to a large increase in the number of overseas tourists and raises the citys level of internationalization“. “The policy will also bring direct economic revenue,“ Li said. “Chengdu has
12、 many cultural legacies and is also a paradise for panda lovers with the worlds largest breeding and research center. Three days are long enough for foreign visitors to visit those iconic tourist spots,“ he noted. The city is home to the remains of the Jin sha civilization that dates back more than 3,000 years as well as the Qing cheng Mountains and the Du jiang yan irrigation system. Qing cheng has long been recognized as the birthplace of Taoism,
