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1、平面汇交力系合成-课程设计永泰城乡建设职业中专 朱鉴教学内容：平面汇交力系的合成教学目标：学生了解平面汇交力系合成的方法学生能够运用所学的力系合成的方法对具体问题进行合成学生对力学有浓厚的兴趣，为以后的课程学习奠定基础教学重点：解析法在平面力系中的应用教学难点：平面力系的合成定理的掌握教学课时：2教学过程：平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则） ，用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。一、几何法首先回顾用几何法合成两
2、个汇交力。如图 21a，设在物体上作用有汇交于 点的两个力 F1和 F2，根据力的平行四边形法则，可知合力 R 的大小和方向O是以两力 F1和 F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力 R 的作用点就是这两个力的汇交点 。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图 21b 所示。图 21对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。设作用于物体上 点的力 F1、 F2、 F3、 F4组成平面汇交力系，现求其O合力，如图 22a 所示。应用力的三角形法则，首先将 F1与 F2合成得 R1，然后把 R1与 F3合成得 R2，最后将 R2与 F4合成得 R，力
3、 R 就是原汇交力系F1、 F2、 F3、 F4的合力，图 22b 所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为R=F1 F2 F3 F4 （21）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力 R1和 R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图 22c 所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量 R，即为原汇交力系的合力，如图 22d 所示。把由各分力和合力构成的多边形 abcde 称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作
4、用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。从图 22e 还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。图 22将这一作法推广到由 n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为：R=F1 F2 F3 Fn= Fi （21b）或简写为：R= F （矢量和） （21c）若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为：R=F （代数和） （22）需要指出的是，利用几
5、何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。二、解析法求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。1、力在平面直角坐标轴上的投影设力 F 用矢量 表示如图 2
6、3 所示。取直角坐标系 oxy，使力 F 在 oxyAB平面内。过力矢 的两端点 A 和 B 分别向 x、y 轴作垂线，得垂足 a、b 及a/、b /，带有正负号的线段 ab 与 a/b/分别称为力 F 在 x、y 轴上的投影，记作Fx、 Fy。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。力的投影的值与力的大小及方向有关，设力 F 与 x 轴的夹角为 ，则从图23 可知sincoyx（23）一般情况下，若已知力 F 与 x 和 y 轴所夹的锐角分别为 、，则该力在x、y 轴上的投影
7、分别为（24）cosyx即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大小。图 23 图 24反过来，若已知力 F 在坐标轴上的投影 Fx、 Fy，亦可求出该力的大小和方向角：（25）xyxtan2式中 为力 F 与 x 轴所夹的锐角，其所在的象限由 Fx、 Fy的正负号来确定。在图 23 中，若将力沿 x、y 轴进行分解，可得分力 Fx和 Fy。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分
8、力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即F=Fx+Fy= （26）jyxi式中 i、 j 分别为沿直角坐标轴 x、y 轴正向的单位矢量。力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。例 21 如图 24 所示，已知 ，NFNF40,3,20,1各力的方向如图，试分别求各力在 x 轴和 y 轴上的投影。解：根据公式（23）或（24） ，列表计算如下力 力在 x 轴上的投影（ ）cosF力在 y 轴上的投影（ ）sinF1 N10cos0 0si1F2 6 N36n20F3 5cs 5si3F4 N204o0 2042、合力投影定理为
9、了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。图 25如图 25 所示，设有一平面汇交力系 F1、 F2、 F3作用在物体的 点，如图O25 所示。从任一点 A 作力多边形 ABCD，如图 25b 所示。则矢量 就表示AB该力系的合力 R 的大小和方向。取任一轴 x 如图示，把各力都投影在 x 轴上，并且令 FX1、 FX2、 FX3和 Rx分别表示各分力 F1、 F2、 F3和合力 R 在 x 轴上的投影，由图 25b 可见Fx1=ab， Fx2=bc， ， Rx=adcdx3而 ad=ab+bc-cd因此可得Rx=Fx1+Fx2+Fx3这一关系可推广到任意
10、个汇交力的情形，即Rx=Fx1+Fx2+Fxn= Fx （26） 由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。3、用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，如图 26 所示，我们可选直角坐标系，先求出力系中各力在 x 轴和 y 轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力 R 在 x、y 轴上的投影 Rx、 Ry，从图 26 中的几何关系，可见合力 R 的大小 和方向由下式确定：（27）xyxy yxxFRtan222式中： 为合力 R 与 x 轴所夹的锐角，R 在哪个象限由Fx 和Fy 的正负号来确定，具体详见图 27 所示。合力的作用线通过力系
11、的汇交点 。O图 26 图 27 下面举例说明如何求平面汇交力系的合力：例 22 如同 28 所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知三力均通过圆心 。试求此力系合力的大小和,10kNF,5,3kNFO方向。解：运用两种方法求解合力。（1）几何法取比例尺为：1cm 代表 10kN，画力多边形如图 28b 所示，其中 ab=。从起点 a 向终点 d 作矢量 ，即得合力 R。由图上量得，321,FcdbFaad=4.4cm，根据比例尺可得， R=44kN；合力 R 与水平线之间的夹角用量角器量得 = 。图 28（2）解析法取如图 28 所示的直角坐标系 ，则合力的投影分别为：OxykNFRyx
12、65.10sin3si 4coco132则合力 R 的大小为：yx 4.6.4222合力 R 的方向为：79.216.45arctnarct1.tnxyxyR由于 0， 0，故 在第一象限，而合力 R 的作用线通过汇交力系xRy的汇交点 。O例 23 如图 29 所示，一平面汇交力系作用于 点。已知 O,201NF各力方向如图。若此力系的合力 R 与 F2 沿同一直线，求 F3 与合力,0NFR 的大小。解：用两种方法（1）几何法取比例尺如图所示。取任一点 a 开始作力多边形， 由 b 点,10NFab作 得折线 abc，再从折线上的 c 点和 a 点分别作 F3 和 R 的平行,302NFb
13、c线，它们相交于一点 d。多边形 abcd 即为力多边形。根据比例尺量得R=573N，F3=141N，合力 R 的作用线通过汇交点 。O图 29（2）解析法取如图 29 所示的坐标系。由题可知 R 沿 x 轴正向，则：0,yx又因为：yyF则得：045sin30si1即 23F得 N4.13又由 Rxx得 FF45cos30cos321即 】NR2.73.1教学小结：1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴上的投影。正确理解合力投影定理3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题作业：2-1、4、5教学反思：学生对力学普通比较头疼，因学生没有很好的数学功底，再接下来的课程，多培养学生的自信心。
