《常微分方程毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程毕业论文（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、引言.11.何谓奇解.52.奇解的产生.53.包络跟奇解的关系.64.理论上证明 C-判别曲线与 P-判别曲线方法.74.1 克莱罗微分方程.115.奇解的基本性质.145.1 定理.145.2 定理.165.3 定理.166.小结.17参考文献：.17摘要摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。 。对某些常微分方程，存在着一条特殊的积分曲线，他不属于这方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的曲线上的每一
2、点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此相切，在几何学上，这条特殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为该方程的奇解。一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（如果存在的话） ，反之，微分方程的奇解（如果存在的话）一定是微分方程通解的包络。从而我们引出了积分曲线族的包络，求微分方程的奇解，要先求出它的通解，然后求通解的包络。关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.1.何谓奇解何谓奇解设一阶隐式方程=0 有一特解),(,yyxF，)(:xyjx如果对每一点，在 P 点的任何一个领域内，方程=0 都有一个不),(,yyxF同于的解在 P 点与相切，则称是微分
3、方程的=0 的奇解),(,yyxF定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解奇解2.2.奇解的产生奇解的产生先看一个例子，求方程（1）033 ydxdy或与它等价的方程 的解。3ydxdy经分离变量后，可得（1）的通解3)(271cxy容易看出，y=0 也是原方程的一个解。现在来研究这个解 y=0 有什么特殊的地方。由图我们看到，在解 y=0 上的每一点处相切，这种特殊的积分曲线)0 ,(0xy=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。我们
4、现在给出曲线族包络的定义我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。设给定单参数曲线族（1）0),(cyx其中 C 是参数，是 x,y,c 连续可微函数。曲线族（1）的包络是指),(cyx这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。例如，单参数曲线族222)(R
5、ycx（这里的 R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C，0）而半径为 R 的一族圆，此曲线族显然有包络y=R 和 y=-R（见图 1）3.3.包络跟奇解的关系包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程的积分曲线族（即通解0),(,yyxF所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程的奇解。事实0),(,yyxF上，在积分曲线族包络上的点（x,y）处的 x,y 和（斜率）的值和在该点与包,y络相切的积分曲线上的 x,y 和满足方程。这就是说，包络是积,y0),(,yyxF分曲线。其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程的
6、通积分，0),(,yyxF那么该通积分的包络就是奇解包络就是奇解。4.4.理论上证明理论上证明 C-C-判别曲线与判别曲线与 P-P-判别曲线方法判别曲线方法但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了 C-判别曲线与 P-判别曲线。从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组0),(0),(,cyxcyxc消去 c
7、 得到所谓 c c - -判别曲线判别曲线必须注意，在 C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。例例 1 1 求直线族(1)0sincospyx的包络，这里的是参数，P 是常数。解：将（1）对求导，得到（2）0cossinyx为了从（1），（2）中消去，将（2）移项，然后平方，有（3）22222sincos2sincosxyyx将（2）平方，又得（4）0sincos2cossin2222xyyx将（3），（4）相加，得到（5）222Pyx容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图 2）例例 2 2 求曲线族（6）0)(32)(22cxcy的包络。解：将（6）对 C 求导数。得到0)(3.3
8、2)(22cxcy即（7）0)(2cxcy为了从（6）和（7）消去 C，将（7）代进（6），得0)(32)(34cxcx即，032)()(3 cxcx从 x-c=0 得到y=x （8）从得到032cx（9）92 xy因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线 y=x 不是包络，而直线是包络（见图 3）92 xy值得注意的是，在 c 判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是 曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种 c 判别曲线不 是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.这里介绍另外一种求奇解的方法。由存在唯一定理知道，如果关于 x,y,连续可微，则只
9、要),(,yyxF,y就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程0, yF=0 （10）),(,yyxF0),(, yyyxF于是我们有下面结论：方程0),(dxdyyxF的奇解包含在由方程组（11）0),(0),(,pyxFpyxFp消去 P 而得到的曲线中，这里 F（x,y,p）是 x,y,p 的连续可微函数，此曲线称为方程（10）的 P-P-判别曲线判别曲线。P-判别曲线是否是方程的奇解，需要进一步的检验例例 3 3 求方程的奇解。01)(22 ydxdy解：从 020122pyp消去 P 得到 P-判别曲线1y容易验证，此两直线都是方程的奇解。因为容易求得原方程的通
10、解为：y=sin(x+c)而是微分方程的解，且正好通解的包络。1y例例 4 4求方程的奇解2 2 dxdy dxdyxy解：从 02222pxpxpy消去 P 得到 P_判别曲线2xy 但不是方程的解，故此方程没有奇解2xy 强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以 C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验补充：4.14.1 克莱罗微分方程克莱罗微分方程形如 （12）)(pfxpy的方程，称为克莱罗微分方程，这里，是 P 的连续可微函数，现在dxdyp )(pf我们进一步讨论：将（12）两边对 x 求导，并以代入，即得pdxdy，dxdppfpdxdyxp)(,即 0)(,pfxdxdp如果，则得
