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1、1,位移分析与刚度设计,第 九 章,目录,2,第九章 位移分析与刚度设计,9.1 杆件的拉压变形9.2 圆轴的扭转变形9.3 梁的弯曲变形9.4 简单超静定问题9.4.1 拉压超静定9.4.2 弯曲超静定,目录,目录,9-1 拉压杆的变形 胡克定律,一 纵向变形,二 横向变形,钢材的E约为200GPa，约为0.250.33,E为弹性摸量,EA为抗拉刚度,泊松比,横向应变,2-7,目 录,9-1 拉压杆的变形 胡克定律,目 录,9-1 拉压杆的变形 胡克定律,目 录,例题,AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。,解：1、计算轴
2、力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象,2、根据胡克定律计算杆的变形。,9-1 拉压杆的变形 胡克定律,斜杆伸长,水平杆缩短,目 录,3、节点A的位移（以切代弧）,9-1 拉压杆的变形 胡克定律,目 录,相对扭转角,抗扭刚度,9-2 圆轴扭转时的变形计算,单位长度扭转角,扭转刚度条件,许用单位扭转角,圆轴扭转时刚度条件,扭转刚度条件,已知T 、D 和/，校核刚度,已知T 和/，设计截面,已知D 和/，确定许可载荷,圆轴扭转时的刚度条件,例题,圆轴扭转时的刚度条件,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,圆轴扭转时的刚度条件,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条
3、件,5.选同一直径时,圆轴扭转时的刚度条件,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,圆轴扭转时的刚度条件,15,9-3-1 概 述,6-1,目录,16,9-3-1 概 述,目录,17,9-3-1 概 述,目录,18,9-3-2 挠曲线的近似微分方程,1.基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度y：截面形心在y方向的位移,向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。,逆钟向为正,6-2,目录,19,2.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,9-3-2 挠曲线的近似微分方程,目录,20,由数学知识可知：,略去高阶小量，
4、得,所以,9-3-2 挠曲线的近似微分方程,目录,21,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,9-3-2 挠曲线的近似微分方程,目录,22,9-3-3 用积分法求梁的变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,6-3,目录,23,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,用积分法求梁的变形,目录,24,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得
5、：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,用积分法求梁的变形,目录,25,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,用积分法求梁的变形,目录,26,例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,用积分法求梁的变形,目录,27,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,用积分法求梁的变形,目录,28,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,用积分
6、法求梁的变形,目录,29,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,用积分法求梁的变形,目录,30,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,用积分法求梁的变形,目录,31,讨 论,积分法求变形有什么优缺点？,用积分法求梁的变形,目录,32,9-3-4 用叠加法求梁的变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,6-4,目录,33,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作
7、用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,用叠加法求梁的变形,目录,34,例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,解,用叠加法求梁的变形,目录,35,3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,用叠加法求梁的变形,目录,36,例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再
8、加上集度相同、方向相反的均布载荷。,解,用叠加法求梁的变形,目录,37,3）将结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,用叠加法求梁的变形,目录,38,讨 论,叠加法求变形有什么优缺点？,用叠加法求梁的变形,目录,39,9-4-1 拉、压超静定问题,约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得,静定结构：,目 录,40,9-4-1 拉、压超静定问题,约束反力不能由平衡方程求得,超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高,超静定度（次）数：,约束反力多于独立平衡方程的数,独立平衡方程数：,平面任意力系： 3个平衡方程,平面共点力系： 2个平衡方程,平面平行力系：2个
9、平衡方程,共线力系：1个平衡方程,目 录,41,9-4-1拉、压超静定问题,1、列出独立的平衡方程,超静定结构的求解方法：,2、变形几何关系,3、物理关系,4、补充方程,5、求解方程组得,例题,目 录,42,9-4-1 拉、压超静定问题,例题,变形协调关系:,物理关系:,目 录,43,9-4-1 拉、压超静定问题,代入数据，得,根据角钢许用应力，确定F,根据木柱许用应力，确定F,许可载荷,目 录,44,9-4-1 拉、压超静定问题,3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC杆面积为300 mm2，AD杆面积为400 mm2，若F=30kN，试计算各杆的应力。,列出平衡方程：,即：,列出变形几
10、何关系,例题,目 录,45,9-4-1 拉、压超静定问题,即：,列出变形几何关系,将A点的位移分量向各杆投影.得,变形关系为,代入物理关系,整理得,目 录,46,9-4-1 拉、压超静定问题,联立，解得：,（压）,（拉）,（拉）,目 录,47,9-4-2 简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,6-5,目录,4
11、8,解,例5 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,9-4-2 简单超静定梁,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,49,4）由物理关系，列出补充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,9-4-2 简单超静定梁,目录,50,例6 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,9-4-2 简单超静定梁,51,代入得补充方程：,确定A 端约束力,9-4-2 简单超静定梁,52,
12、确定B 端约束力,9-4-2 简单超静定梁,53,A、B 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,9-4-2 简单超静定梁,54,补充： 提高梁刚度的措施,1.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,6-6,目录,55,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,补充： 提高梁刚度的措施,目录,例 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,56,例 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度条件确定轴的直径：,补充： 提高梁刚度的措施,目录,57,补充： 提高梁刚度的措施,2.提高梁刚度的措施,1）选择合理的截面形状,目录,58,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,补充： 提高梁刚度的措施,目录,59,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,补充： 提高梁刚度的措施,目录,60,3）采用超静定结构,补充： 提高梁刚度的措施,目录,61,3）采用超静定结构,补充： 提高梁刚度的措施,目录,
