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1、专业好文档数学研究性学习的三种实施模式初探数学研究性学习的三种实施模式初探吕林海1，王智明2(1、华东师范大学 课程与教学研究所，上海 ；2、江苏省教育学院， )研究性学习正成为国内教育理论界与实践界共同关注的焦点问题。对于研究性 学习的定位、教学过程、组织、评价等问题，相关的研究论文已经做了较为深入的 分析。但研究性学习如何与数学学科有机整合，整合的基本模式有哪些，在实施这 些模式的过程中在理念上应当有哪些转变，这些模式之间的异同又是什么，国内对 此似还缺乏足够的论证与研究。与此同时，笔者深切地感受到，目前对于数学研究 性学习的理解与定位，学术界还处于一种不统一的状态中。这种研究视角和理解层
2、 面上的不一致对于数学研究性学习更加合理、更加有效地深入开展，是非常不利的。 相比较而言，国外对于数学研究性学习有着较为成熟的理解，即数学研究性学习应 当是项目驱动或任务驱动的，数学知识的习得、理解与应用都是镶嵌在一种真实的、 或近乎真实的项目活动与任务活动之中的，它真正关注学生在数学学习中的兴趣， 关注学生已有的知识背景、生活经验对于学习的影响，促进学生在研究中获得对于 数学的个人化的真实理解，并把学生的各方面素质的发展与培养作为首要目标。当 然，由于国外的教育实践借助于其先进的学习理念的支撑，所以这种项目活动和任 务活动式的研究性学习模式更加接近于人类的学习本质，更加强调教学要为学生呈 现
3、一种适合其学习与探究的环境，遵从以一种自然而有效的方式展开学习，并最终 着眼于学生未来的全面而整体的可持续发展。正是基于上述的想法，在本文中，笔 者试图从两个角度展开论述。第一部分主要在借鉴国内对于研究性学习的理解与实 践的基础上，参照国外的相关行动模式，归纳出数学研究性学习的三种建议性的实 施模式，并对其做简要分析，同时辅以案例支撑。第二部分则更多地对三种模式从 理念上展开分析，透视三种模式背后所蕴涵的有关学习与知识的本质。一、一、三种实施模式的介绍与案例分析三种实施模式的介绍与案例分析1 1、模式一：基于数学模型的探究与研究模式模式一：基于数学模型的探究与研究模式基于数学模型的探究与研究模
4、式在国内的教学实践中被普遍使用。这种模式的 基本实施过程是，将一定范围内的核心数学模型（包括概念、定理、法则，甚至于 一种数学方法或思想）确定为探究或研究对象，而后创设一个问题情境（或是真实、 或是虚构） ，通过对问题情境中的问题做出数学化阐释、分析直至解决等的一系列 过程，达到对数学模型的较为深刻的理解。这种模式更多地表现出对数学概念、定 理、法则、思想等本身的关注，更加强调学生在研究过程中建立对这些数学模型的作者简介：吕林海（1977） ，男，南京人，南京师范大学数学与计算机科学学院数学教育专业硕士毕业，现为 华东师范大学课程与教学研究所博士研究生，主要的研究领域为数学教育、学习与教学设计
5、、学习科学等的前 沿理论与实践研究。专业好文档数学化理解。接下来，我们可以通过一个案例来感受这一模式的基本特点。案例案例 1 1 及分析：破解街头小骗局及分析：破解街头小骗局 问题引入： 共 24 张牌按照如图 1 的形状反扣在地上，骗子让你以任意一张牌为起点翻牌， 最后将每一张牌全部翻过来。必须一张挨着一张翻。只能横着或竖着翻，不能斜着、 跳着翻。如果不能全部翻过来，就算输了。123对情境及问题的分析： 这个情境源于真实生活，而且问题本身饶有趣味，易于激发学生的兴趣与激情。 这个问题的特点在于，它不是一个简单的生活化问题，而是一个有着明显数学指向 的问题。它需要借助组合数学中的分类模型，对分
6、类情况做整体的把握，从而得到 问题的解答。这个问题对于学生的数学分类思想以及整体化数学思维的形成与培养 非常有帮助。 就问题而言，每走一步就有 1 种、2 种、3 种或 4 种走法。如果一种一种地去走， 情况将十分复杂。其实换一种方法分类考虑就很容易得出这是不可能的（如图 2） 。 让其灰白相间地涂上颜色，则无论你以灰色或白色为第一张牌，则下一张牌一定是 不同的颜色。要想全部走完，灰白两色牌的数目要么相等，要么相差一张。但如图 所示，白色牌比灰色牌多 2 张，因此是不可能翻出来的。 另外，如果将空白的地方补上一张色牌（如图 3） ，还是上述规则，你虽可以翻 完所有的牌，却永远不能回到你翻的第一
7、张牌。这同样是分类的问题。 对实施过程的几点建议：1、教师要清楚，这个问题的解决需要的是学生的高级思维能力，包括数学抽 象思维能力、整体化思维能力等，所以要给学生足够的时间渐进地、逐步地发现隐 蔽于问题之中的数学关系与结构。2、教师要逐步而变通地去引导，并善于紧扣学生的思维发展展开提问。比如， “如果一个一个地翻，那么，每翻一个会出现多少种选择情况？” “你发现出现的 选择情况会呈现什么趋势？” “你觉得如何去把握这一趋势，并且这对解决问题是 否有帮助？” “能否换一种思维方式去考察问题？”等等，这些问题对调动学生的 思维会很有帮助。3、要给予学生讨论、协商的机会，思想、观点的交流与碰撞有利于
8、思维的深专业好文档入发展。就学生而言，通常的做法是试试看一张张地去翻，几次尝试以后，发现无 法全部翻完，他们就会寻找解决问题的统一方法，但这对学生是有难度的，因为很 可能学生的思维是片面化的，达不到问题解决的深层次感悟。所以，如果此时让学 生组成小组，势必会使学生的观点形成互补，从而有可能导致灵感火花的产生。综上，基于数学模型的探究研究模式更加强调对于数学内部模型的探究、应用， 更强调学生高级数学思维能力的培养。在国内的教育实践中，教师往往会结合学生 课本上已学的数学知识深入挖掘孕育其中的研究素材，使学生在思考与研究过程中， 深化对相关数学知识结点的掌握与理解，并发展数学的研究能力，这是有别于
9、下面 两种模式的重要特点。2 2、模式二：基于调查访取的研究模式模式二：基于调查访取的研究模式基于调查访取的研究模式在国内数学教育界较少使用，而在国外的数学教育实 践中却广为盛行。这种模式更加类似于企业中的项目（project）活动，只不过这 种项目指向数学任务的实施与完成，即通常所说的“数学项目” （mathematics project） 。这一模式更加看重学生对于资料搜集、整理、分析的能力，倡导让学生 自主地获取信息，并强调基于个人的想象力与创造力之上的学习与研究 。这种模1式的基本做法有两种，一种是在纯粹非数学情境之下镶嵌数学任务，另一种是数学 情境中的任务活动。相比较而言，后者在国内
10、的实践中采用得比较多，比如在广州 一所中学中，学生在学习完了函数这一章之后，教师让学生围绕所学内容组成研究 团队，围绕函数这一核心内容，自己查找资料、调查访取，并在此基础上自行确定 拓展性研究课题。结果，学生的创造潜能被极大地调动出来，写出了求函数值域 的方法、函数应用题的分类、所见函数的性质研究等研究论文。有的同 学通过各种渠道，收集整理了求解函数值域的十几种方法，还有的同学也是通过调 查、访问、整理、思考等过程，对一些非常复杂的函数做了相当透彻、准确的性质 分析，研究效果非常好。而对于前者，笔者认为国内的实践还显得局限了些。比如， 研究现实生活中的按揭购房贷款问题，我们通常热衷于站在顾客的
11、角度去计算每次 应付的款项、总共应付的款项等等，虽说也是项目性研究，但问题的开放性、学生 的兴趣、学生主动捕捉信息分析信息的能力等因素都没有被很好地调动与开发出来。 笔者认为，对该问题，我们完全可以换一个角度去研究：按揭贷款中银行方面究竟 可以取得哪些效益。这样，学生便需要走出课堂，走近社会，广泛收集数据，展开 调查访问研究，学生的研究兴趣与积极性必然会被激发出来。在这里，笔者再介绍 一个国外的相关案例供大家体会。 案例案例 2 2 及简析：校园内的温度变化趋势及简析：校园内的温度变化趋势 学习背景：学习用线形图和盒形图以及中心趋势量（如平均值、众数或中位数） 来描述、解释数据。 材料： 室内
12、温度计 研究过程： 1、学生分成几个小组，收集、记录和分析学校建筑物的温度数据。在学校建筑 物中选择若干个便于测量的位置，决定每个位置由哪些小组成员负责记录温度。选 择在学校时的两个时间测量、记录温度。 2、学生要用室内温度计或百叶箱，在预定时间内，测量一周内建筑物所选位置 的每天的温度。专业好文档3、学生要找出他测量的温度的平均值、中位数和众数，确定哪个中心趋势量最 能代表测量位置的温度。 4、和小组其他成员讨论，找出所有测量位置温度的平均值、中位数和众数，确 定哪个中心趋势量最能准确反映学校建筑物在测量的时间内的温度。 5、建议学生给学校校报写信或给学校的维修管理人写一个备忘录，展示他们
13、的研究结果。 6、小组成员之间展示研究成果，并反思各小组报告的特点与优劣。简析：简析：这个案例比较典型地反映了这种研究模式中的调查、勘测、收集、分析、 反思等一系列过程与特征，数学统计学的相关概念被巧妙地融入项目活动之中,学 生在完成项目的过程中不断地深入领会相关数学概念的含义，最终达到对数学知识 的有意义的个性化解释。就国内而言，由华东师范大学高文教授与徐斌艳教授所开 发的“旅游情境中的数学”就是这方面的有益尝试，他们把各种数学知识镶嵌在一 个为外国专家访问团设计出在上海城隍庙如何进行最佳的购物、游览等的任务性活 动之中，可以说，这一案例极好地体现了这种模式中的诸多特征 。23 3、模式三：
14、基于数学实验的研究模式模式三：基于数学实验的研究模式该模式十分关注学生的动手实验能力，并关注学生在实验中反思、应用、体会 各种数学概念、定理法则，各种数学模型是以一种实践化的方式渗透在科学实验之 中，学生对其学习、理解必然是真实的、基于自身的评判标准之上的。这种模式让 学生能真正感受到科学实验中的数学本质，理解数学与物理、化学等科学学科的紧 密联系，从而数学学习是以一种跨学科的方式展开的。接下来，我们通过剖析美国 的一个数学实验案例来进一步理解这种模式的本质特点。案例案例 3 3 及简析：测量硬币的密度及简析：测量硬币的密度 问题背景及提出问题背景及提出： 美国现有的硬币和十年前大不相同。19
15、82 年以前，硬币是用铜合金制成的。现 在，硬币外面是一层铜，内芯却用另一种金属制成。硬币组成部分的不同导致了硬 币的不同特性，如密度，即每单位体积的质量。在这个实验中，你要测定并比较 1982 年前后制造的硬币的密度，并且用你的数据确定 1982 年后硬币的内芯是什么 金属。 实验目的：实验目的：* 用算术数列预测一组硬币的密度。 * 测定 1982 年前制造的硬币的密度。* 比较 1982 年前、后制造的硬币的密度。实验过程简析：实验过程简析：1、用天平和量筒分别测量 5 个、10 个、15 个40 个硬币的质量和体积，需 要想一想怎么去测量。自己设计一个表格，将测得的数据填入表格中。 2
16、、表 1 列的是 1982 年后硬币的信息，2 至 4 列是 3 个算术数列。对每一列， 确定算术数列的通项公式，并记在表 1 底部。用表 2 中的数据，预测第 6、7 组硬 币的质量、总体积和净体积。3、对比自己创设的表格与表 1 在设计思路、数据安排上的差别。建立一个直 角坐标系，横轴表示硬币的净体积，纵轴表示硬币的质量，把两个表中的数据xy 分别做成数据图（用两种不同颜色） ，并分别做出最佳拟合直线（尽可能多地连接专业好文档各点的直线） 。4、描述两条直线的异同，并找出每条直线的斜率。再分析与思考一下，斜率 代表了什么？5、铜的密度是 8.92g/ml，这个值和 1982 年以前硬币的斜率比较怎么样？对实验的分析：对实验的分析：这是一个与物理学中的密度概念有关的数学实验型的研究案例。钱币随处可见， 但从这普普通通的钱币身上提炼出如此一个有趣的数学研究案例，的确是煞费苦心 的。该案例中的实验构思精巧，不是把这个实验纯粹地做成一个物理学实验，而是 在实验中巧妙地将数列通项、函数的描点及绘图、最佳拟合直线的概念、一次函数 的表达式及斜率等知识镶
