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1、第 第 第 第 2 2 2 2 章 章 章 章 力系的简化 力系的简化 力系的简化力系的简化 (Reduction of Force System)第 2 章 第 2 章 力系的简化 力系的简化 汇交力系 汇交力系 力偶系 力偶系 空间任意空间任意力系的简化 力系的简化 讨论讨论两个或两个以 两个或两个以 上的力所构成的系 上的力所构成的系 统称为统称为力系,力系,又称 又称 力的集合力的集合. . 力 系 力 系 汇交力系汇交力系空间力系 空间力系 风力 风力 浮力 浮力 重力 重力 阻力阻力 汇交力系 汇交力系 汇交力系 汇交力系 所有力的作用 所有力的作用 线汇交于一点的力 线汇交于一点
2、的力 系称为系称为汇交力系汇交力系 (concurrent force system) 汇交力系 汇交力系 一一、力在直角坐标轴上的投影与分解、力在直角坐标轴上的投影与分解 = = = cos cos cos F F F F F F z y x = = = cos sin sin cos sin F F F F F F z y xxyz xyz Fi F j Fk = + + =+ v vvv v vv F F F F 汇交力系汇交力系合成合成几何法 几何法 力多边形法则 力多边形法则 二二、汇交力系合成与平衡 、汇交力系合成与平衡 汇交力系汇交力系合成合成解析法解析法 R12 ni FFFF
3、F =+= vvvvv LL ix x F = R F iz z F = R F iy y F = R F 而 而 合力的大小和方向余弦分别为合力的大小和方向余弦分别为 = = = + + = R R R R R R 2 2 2 R ) , cos( ) , cos( ) , cos( ) ( ) ( ) ( F F F F F F F F F F iz iy ix iz iy ix k k F F j j F F i i F F 汇交力系汇交力系平衡平衡几何法 几何法 平衡的几何条件是平衡的几何条件是：汇交力系的力多边形自行封闭。 ：汇交力系的力多边形自行封闭。 汇交力系汇交力系汇交力系平衡
4、的必要和充分条件 汇交力系平衡的必要和充分条件 是：力系的合力等于零，即是：力系的合力等于零，即 0 R F = v 平衡平衡解析法 解析法 其平衡方程式为其平衡方程式为 0 = ix F 0 = iz F 0 = iy F 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零 汇交力系汇交力系DE EB CE = = = 30 EBF kN 10 = P 例 例 起吊装置如图起吊装置如图(a)所示，起重杆所示，起重杆 A端用球铰链固 端用球铰链固 定在地面上，定在地面上，B端则用绳端则用绳CB和和DB拉住，两绳分别系在 拉住，两绳分别系在 墙上的点墙上的
5、点C和和D，CD连线平行于连线平行于X轴。若已知 轴。若已知 ， ， ， ， ，如图，如图(b)所示， 所示， 物重 物重 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和 绳子的拉力。绳子的拉力。 = 30 汇交力系汇交力系解：取起重杆 解：取起重杆 与重物为研究对 与重物为研究对 象象，建立图示坐标系建立图示坐标系，受力如图受力如图(a)。 。 由已知条件可知由已知条件可知， ， 由平衡方程由平衡方程 AB = = 45 DBE CBE 0 45 sin 45 sin 0 2 1 = = F F F x 0 30 cos 45 cos 30 cos 45 cos 30
6、 sin 0 2 1 = = F F F F A y 0 30 cos 30 sin 45 cos 30 sin 45 cos 0 2 1 = + + = P F F F F A z kN 54 . 3 2 1 = = F F kN 66 . 8 = A F 解得 解得 为正值，表明所设的 为正值，表明所设的 方向正确， 方向正确， 为压杆。为压杆。 A F A F AB力对点的矩力对点的矩 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 力偶系 力偶系 力偶系力偶系1、力对点之矩 、力对点之矩 力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。 。 力对点之矩与
7、力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 1）矢积表达式 ）矢积表达式 力矩的大小力矩的大小 OAB O A d F (F M = = 2 ) ( ) o MFrF = vvv v (moment of a force about a point) F ( Fx ,Fy ,Fz ) A ( x , y , z ) r=x i+yj+zk vvvv vvv v2）力对点之矩的解析式为）力对点之矩的解析式为 = (F z yF y z) i +(F x zF z x) j+(F y xF x y) k ()()() OxOyOz =+ MiMjMk FFF 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 =
8、 = = x y z o z x y o y z x o yF xF xF zF zF yF ) ( ) ( ) ( F F M M F F M M F F M M ( ) o xyz ijk M Fr Fxyz FFF = = vvv v力对点的矩为零的条件： 要使 要使| |M M M MO O( (F F F F )|=0 )|=0，就有 ，就有r r r r F F F F =0 =0 =0=0， ， ，得： 得： 1 1） ）r r r r =0 =0或 或r r r r与 与F F F F 共线，即力通过矩心； 共线，即力通过矩心； 2 2） ） F F F F = 0 = 0力对
9、点 力对点 之之矩是定位 矩是定位 于矩心的矢量于矩心的矢量, ,其矢 其矢 量方向由量方向由右手定则右手定则确 确 定定. . 平面问题中平面问题中力对点之 力对点之 矩是代数量。取绕矩 矩是代数量。取绕矩 心逆时针转动为正心逆时针转动为正， ， 反之为负反之为负。 。 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩F F F z F x F y 实 例 实 例 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 2、力对轴之矩 、力对轴之矩 力对轴之矩是 力对轴之矩是 力使物体绕某轴转 力使物体绕某轴转 动效果的度量。动效果的度量。 moment of a force about an axis定
10、义 定义 定义 定义 : : : :将力向垂直于 将力向垂直于 该轴的平面投影 ,力的 该轴的平面投影 ,力的 投影与投影至轴的垂直 投影与投影至轴的垂直 距离的乘积. 距离的乘积. 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 Mz (F) = F xy d oAB A = 2力对轴之矩的解析式力对轴之矩的解析式 = = = x y z z x y y z x yF xF M xF zF M zF yF M ) ( ) ( ) ( F F F F 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩在通过该点的某轴 力对点之矩在通过该点的某轴 上的投影等于力对该轴之矩。上的投影等于力对该轴
11、之矩。 x o ) ( F F M M y o ) ( F F M M z o ) ( F F M M = = = = = = x y z z x y y z x yF xF M xF zF M zF yF M ) ( ) ( ) ( F F F F M (F)(F)i(F)j(F)k Oxyz MMM =+ vvv vvvvv 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 3、力对点之矩与力对轴之矩的关系、力对点之矩与力对轴之矩的关系M o F 特 特 特特 殊 殊 殊殊 情 情 情情 形 形 形 形 结 论 结 论 : : 当轴垂直于当轴垂直于r r 和和F F 所在的平面时所在的平面时,
12、 , 力力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。 对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩4 4、 、 合力之矩定理合力之矩定理 F R = F i i=1 n M O (F R )= M O (F i ) 该定理适用于有合力的任何力系 该定理适用于有合力的任何力系 合力矩定理合力矩定理：(汇交力系汇交力系)合力对任一点之矩矢等于 合力对任一点之矩矢等于 力系中各力对该点之矩矢的矢量和力系中各力对该点之矩矢的矢量和； (汇交力系汇交力系)合力对任一轴之矩等于力系中 合力对任一轴之矩等于力系中 各力对该轴之矩的代数和各力对该轴之矩的代数和。 ) ( ) ( )
13、 ( ) ( O O z F F F F M M F F F F Z Z Z R R M M = = = M 力对点之矩与力对轴之矩 力对点之矩与力对轴之矩 汇交力系汇交力系 ) , , , ( 2 1 n F F F L例 例 例 例 题 题 题 题 已知 :已知 : F F , ,l l 1 1 , ,l l 2 2 , , . . 求 :求 : M M O O ( (F F ) ) =M O (F sin i) + M O (F cos j) M O (F) ) ( ) ( y o x o M M F F F F + = 解：解： 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩例 例 例
14、例 题 题 题题 m q l x q = = = l m R l q dx q F 0 2 1 = l R xdx q h F 0 l h 3 2 = 三角形分布载荷作用在水平梁 三角形分布载荷作用在水平梁 上，如图所示。 上，如图所示。 最大载荷强度为 最大载荷强度为 ， 梁长 ， 梁长 。试求该力系的合 。试求该力系的合 力力 AB m q l 解解： ： 求合力的大小 求合力的大小 求合力作用线位置 求合力作用线位置 即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合 合 力作用线通过三角形的几何中心。 力作用线通过三角形的几何中心。 力对点之矩与力对轴之矩力
15、对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩力 偶力 偶 (couple) (couple) : : 大 大 小相等小相等, ,方向相反,不 方向相反,不 共线的两个力所组成 共线的两个力所组成 的力系的力系. . 力偶系力偶系 F 2 F 1 r 1 r 2 r BA 力偶作用面(acting plane of 力偶作用面(acting plane of a couple) a couple) : : 二力所在平面二力所在平面。 F 1 F 2 力偶臂(arm of couple):力偶臂(arm of couple):二力作用线之间的垂直距离二力作用线之间的垂直距离。 力 力 偶 偶 实 实 例 例 力偶系力偶系 力 力 偶 偶 实
