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1、学生姓名学生姓名学学 号号学院学院 数学科学学院数学科学学院专专 业业数学与应用数学数学与应用数学题题 目目极限求法综述极限求法综述指导教师指导教师2010年11月摘要：摘要：极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限
2、, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。关键词关键词：夹逼准则, 单调有界准则, 函数的连续性，无穷小量的性质, 洛必达法则, 微分中值定理, 定积分, 泰勒展开式.Abstract：Mathematical analysis of the limit has been a focus of the content, while the series to Limit can be described as diverse, and concluded by induction,
3、 we set out the requirements of some commonly used method. This paper summarizes the mathematical analysis of fourteen methods of limit, 1: Limit of using two criteria, 2: the use of arithmetic nature of the limits of the Limit, 3: Limit use of two important limit of the Formula 4: Using a single si
4、de of the limit of limit, 5: Using the continuity of functions of limit, 6: the nature of the use of limit infinitesimals, 7: Substitution of equivalent limit Infinitesimal, 8: Using the definition of derivative of the Limit, 9: Using the value theorem of limit, 10: Using the Limit Hospitals Rule 11
5、: the use of the definite integral summation type limit, 12: Convergence of the necessary conditions using the Limit, 13: Limit of using the Taylor expansion, 14: the use of Method substitution limit.Keywords：Squeeze guidelines, criteria for bounded monotone function continuity, the nature of infini
6、tesimals, Hospitals Rule, Mean Value Theorem, definite integral, the Taylor expansion.目录目录一、引言 二、极限的求法 2.1：利用两个准则求极限 2.2：利用极限的四则运算性质求极限 2.3：利用导数的定义求极限 2.4：利用两个重要极限公式求极限 2.5：利用级数收敛的必要条件求极限 2.6：利用单侧极限求极限 2.7：利用函数的连续性求极限 2.8：利用无穷小量的性质求极限 2.9：利用等价无穷小量代换求极限 2.10：利用中值定理求极限 2.11：洛必达法则求极限 2.12：利用定积分求和式的极限 2
7、.13：利用泰勒展开式求极限 2.14：换元法求极限 结论 参考文献 致谢数学分析中极限的求法综述数学分析中极限的求法综述一、引言：极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状 态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3 世纪中国数学 家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆 周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提 出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到 19 世纪，由 A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的
8、理论基础之上，从 而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数 yf(x)在0xx处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。二、极限的求法：2.1：利用两个准则求极限。(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N,当 nN 时，有nxnynz且limlim,nnxx
9、xza 则有 limnxya . 利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 ny和 nz，使得nnnyxz。例1 222111. 12nx nnnn 求nx的极限解解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.nnx nnnnnnnn 2222111. 1111nnx nnnn 则221nnnx nnn 又因为22limlim1 1xxnnnnn lim1nxx （2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：1 证明下列数列的极限
10、存在，并求极限。 123,nya yaa yaaayaaaaL LL证明证明：从这个数列构造来看 ny显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为21321,nnyayyayyayL L所以得2 1nnyay. 因为前面证明ny是单调增加的。两端除以 ny得1n nayy因为1,nyya则naay , 从而11naay 1naya即 ny是有界的。根据定理 ny有极限，而且极限唯一。令 limnnyl 则 2 1limlim()nnnnyya则2lla . 因为 0,ny 解方程得141 2al所以 141lim2nnayl 2.2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若 Ax
11、f xx )(lim0Bxg xx )(lim0(1) )()(lim0xgxf xx)(lim0xf xxBAxg xx )(lim0(2)BAxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim000(3)若 B0 则：BA xgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（4）cAxfcxfc xxxx )(lim)(lim00（c 为常数）上述性质对于时也同样成立xxx,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因
12、式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1)2211lim21xx xx (2)312lim3xx x (3)3113lim()11xxx(4) 已知 111,1 22 3(1)nxnnL L 求limnnx 解解：(1) 2211lim21xx xx 1(1)(1)lim(1)(21)xxx xx 11lim21xx x 2 3 (2)312lim3xx x 3( 12)( 12)lim(3)( 12)xxx xx 33lim(3)( 12)xx xx 1 4(3)3113lim()11xxx2312lim1xxx x
13、 21(1)(2)lim(1)(1)xxx xxx 212lim1xx xx -1 (4) 因为 111,1 22 3(1)nxnnL L111111111122334411L Lnnn 11n 所以 1limlim(1)1nnnxn2.3：利用导数的定义求极限导数的定义：函数 f(x)在0x附近有定义，, xV则00()()yf xxf xVV如果0000()()limlim xxf xxf xy xx VVVV VV存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0x的导数记为 / 0()fx.即/00 00()()()lim xf xxf xfxx VV V在这种方法的运用过程中。首先要选好 f(x)。然后把所求极限。表示成 f(x)在定点0x的导数。例：求 2lim()22xxctg x解解：取 f(x)= 2tg x.则22211lim()222lim2(2)2lim2 2xxxxctg xtg xtg xtg x x 2( )()2lim2xf xfx/1()2f 21(2sec 2 )2x x1 22.4：利用两个重要极限公式求极限两个极限公式1sinlim)( 0 xxA xexBxx )11 (lim)(但我们经常使用的是它们的变形：)( ,)(11lim()()0)( , 1)()(sinlim)()(xexBx
