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1、12014 年北京各城区解析几何一模二模试题汇编【例 1】 （2014 年昌平二模理科） （19 ） （本小题满分 13 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为短轴的一个2:1(0)xyCab12,F(0,3)B端点， .260OFB（）求椭圆 的方程；（）如图，过右焦点 ，且斜率为 的直线2(0)k与椭圆 相交于 两点， 为椭圆的右顶点，直线lC,EFA分别交直线 于点 ，线段 MN的中,A3x,点为 P，记直线 的斜率为 .2k求证: 为定值 .k【例 2】 （2014 年东城二模理科） 19.（本小题共 13 分）已知椭圆 的一个焦点为 ，且离心率为 21xyab(2,0)F63（）求
2、椭圆方程；（）斜率为 的直线 过点 ，且与椭圆交于 BA,两点， 为直线 上的一点，kl Px若 为等边三角形，求直线 的方程. ABPl2【例 3】 （2014 年海淀二模理科）19. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 G的离心率为 2，其短轴两端点为 (0,1),AB.（）求椭圆 的方程；（）若 ,CD是椭圆 上关于 y轴对称的两个不同点，直线 ,CD与 x轴分别交于点,MN.判断以 为直径的圆是否过点 A，并说明理由.【例 4】 （2014 年顺义二模理科）19 （本小题共 14 分）已知椭圆 E的两个焦点分别为 (1,0)和 (,离心率 2e.（）求椭圆 的方程；（）设直线 :lyx
3、m（ ）与椭圆 E交于 A、 B两点，线段 A 的垂直平分线交 轴于点 T，当 变化时,求 TA面积的最大值.【例 5】 （2014 年西城二模理科）（19） （本小题共 14 分）设 是椭圆 上不关于坐标轴对称的两个点，直线 交 轴于点,AB2: 143xyWABx（与点 不重合） ，O 为坐标原点. M,（）如果点 是椭圆 W 的右焦点，线段 的中点在 y 轴上，求直线 AB 的方程； MB（）设 为 轴上一点，且 ，直线 与椭圆 W 的另外一个交点为Nx4NA3C，证明：点 与点 关于 轴对称.BCx2014 年北京各城区解析几何一模二模试题汇编答案【例 1】 （2014 年昌平二模理科
4、） 19. （本小题满分 13 分） 解：（）由条件可知 ， 22,3ab分故所求椭圆方程为 . 41342yx分（）设过点 的直线 方程为： . 52(1,0)Fl)(xky分由 可得： 62(),143ykx 01248)34(22 kxk分因为点 在椭圆内，所以直线 l和椭圆都相交，即 恒成立.2(,0)F 0设点 ，则12,)Exy. 8 分3412,3482121 kxk因为直线 的方程为： ，AE)(1xy直线 的方程为： ， 9 分F)2(2令 ，可得 ， ，3x),(1xyM),3(2xyN所以点 的坐标 . 10 分P12(,)直线 的斜率为2F12()03yxk412()4
5、yx1212()4yx12 分12123(4)kxk22843143kkk所以 k为定值 . 13 分3【例 2】 （2014 年东城二模理科）19 （本小题共 13 分）解（）依题意有 ， 2c63a可得 ， 6b故椭圆方程为 分21xy（）直线 的方程为 l()k联立方程组 2,1.6yx消去 y并整理得 222(3)160kxk设 ， 1(,)Ax2,By故 ， 123k213kx则 4)(2121221 xxAB526(1)3k设 的中点为 AB0(,)Mxy可得 ， 20631kx0231k直线 的斜率为 ，又 ，PPx所以 22023(1)1kMk当 为正三角形时， ABP2，AB
6、P可得 ， 22213()6(1)3kk解得 即直线 的方程为 ，或 13l0xy0xy分【例 3】 （2014 年海淀二模理科）19. （本小题满分 14 分） 解:（）由已知可设椭圆 G的方程为：21()xya.-1 分由 2e，可得21ae,-2 分解得 a, -3 分所以椭圆的标准方程为21xy. -4 分（）法一：设 0(,)Cxy且 0，则 0(,)Dxy. -5 分因为 ,1,AB,所以直线 的方程为 01yx. -6 分令 0y，得 01Mxy，所以 0(,)1y. -7 分6同理直线 BD的方程为 01yx，求得 0(,)1xNy.-8 分00(,)(,)11xAMANyy-
7、9 分所以 20, -10 分由 0(,)Cxy在椭圆 G：21xy上，所以 2200(1)xy,-11 分所以 10AMN, -13 分所以 9,所以，以线段 为直径的圆不过点 A.-14 分法二：因为 ,CD关于 y轴对称，且 B在 y轴上所以 BA. -5 分因为 N在 x轴上，又 (0,1),关于 x轴对称所以 CA, -6 分所以 /C, -7 分所以 180AB, -8 分设 0(,)xy且 ，则 2200(1)xy. -9 分因为 20 03(,),(1)Cx ,-11 分所以 9AB, -12 分所以 0N, -13 分所以，以线段 M为直径的圆不过点 A. -14 分法三：设
8、直线 AC的方程为 1ykx，则 (,0)Mk， -5 分20,1xyk化简得到 22()，所以 2()4xk，所以 1240,1kx, -6 分所以 221ky,所以 (,)kC， -7 分7因为 ,CD关于 y轴对称，所以2241(,)kD.-8 分所以直线 B的方程为 214xk，即 2yxk.-10 分令 0y，得到 xk，所以 (,0)N. -11 分1(,)(2,)1AMN, -12 分所以 9, -13 分所以, 以线段 为直径的圆恒过 (0,2)和 ,)两点.-14 分法 4 :转 化为文科题做，考查向量 ACN的取值【例 4】 （2014 年顺义二模理科）19 （本小题满分
9、14 分）解：（）由已知椭圆的焦点在 x轴上， 1c， 2a，2a， 1b，2 分椭圆 E的方程为 xy4 分（） 21ymx，消去 得 2230xm直线 l与椭圆有两个交点， 0A，可得 23（*）6 分设 1(,)Axy， 2(,)B1243m，213x，弦长 2|63Bm，8 分AB中点 (,)M， 设 (,0)T， 1ABMTk， 123x，3mx(,)， 2|3m11 分8221 39|(6)()299SABMTm3m， 2时， ax3S，14 分（或：221(6)|(6)99mSABT226()39m.当且仅当 23时成立， max3S.（用其它解法相应给分）【例 5】 （2014
10、 年西城二模理科）19 （）解：椭圆 W 的右焦点为 ， 1 分(1,0)M因为线段 的中点在 y 轴上， B所以点 的横坐标为 ， 因为点 在椭圆 W 上， 将 代入椭圆 W 的方程，得点 的坐标为 . 31xB3(1,)2分所以直线 （即 ）的方程为 或 . 5 分ABM340xy40xy（）证明：设点 关于 轴的对称点为 （在椭圆 W 上） ，x1B要证点 与点 关于 轴对称，C只要证点 与点 C 重合，.1B又因为直线 与椭圆 W 的交点为 C（与点 不重合） ，ANA所以只要证明点 ， ， 三点共线. 7 分1B以下给出证明：由题意，设直线 的方程为 , , ，则A(0)ykxm1()Axy2()B. 12(,)Bxy9由
