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1、 1第 4 章 不定积分内容概要名称主要内容不 定 积 分 的 概 念设， ，若存在函数，使得对任意均有 ( )f xxI( )F xxI( )( )F xf x或，则称为的一个原函数。( )( )dF xf x dx( )F x( )f x的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为( )f x( )f xI( )( )f x dxF xC注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，( )f x( ),( )F x G x( )f x则。故不定积分的表达式不唯一。( )( )F xG xC性 质性质 1：或；( )( )df x dxf xdx( )( )df x dxf x dx性质 2
2、：或；( )( )F x dxF xC( )( )dF xF xC性质 3：，为非零常数。( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx, 第一换元 积分法 （凑微分 法）设的 原函数为，可导，则有换元公式：( )f u( )F u( )ux( ( )( )( ( )( )( ( )fxx dxfx dxFxC第二类 换元积 分法设单调、可导且导数不为零，有原函数( )xt ( )( )ftt，则 ( )F t1( )( ( )( )( )( )f x dxftt dtF tCFxC分部积分 法( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )u x v x dxu x
3、dv xu x v xv x du x不 定 积 分计 算 方 法有理函数 积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对 真分式的处理按情况确定。本章 的地 位与 作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函 数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分， 最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。 从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会 不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学2习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题
4、4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！(1)2dxxx思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。5 2 21xxx解：53 22 22 3dxxdxxCxx (2)31()xdxx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114111 33322213()()24dxxxdxx dxxdxxxCx3x(3)22xx dx（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2232122ln23x xxx dxdxx dxxC（）(4)(3)x xdx
5、思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3153 22222(3)325xdxx dxx dxxxCx(5)422331 1xxdxx 3思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，42 2 223311311xxxxx分别积分。解：42 23 2233113arctan11xxdxx dxdxxxCxx(6)221xdxx思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，222221 111111xx xxx 分别积分。解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的
6、假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)xdxxxx34134（-+-）2思路:分项积分。解：3411342xdxxdxdxx dxx dxxxxx34134（-+-）2223134ln |.423xxxxC(8)2232()11dxxx思路:分项积分。解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx(9)x x xdx思路:？看到，直接积分。x x x 11 17 24 88x x xxx 解：715 888.15x x xdxx dxxC4(10)221 (1)dxxx思路:裂项分项积分。解：22222211
7、1111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx (11)211xxedxe解：21(1)(1)(1).11xxx xx xxeeedxdxedxexCee(12)3xxe dx思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然。33xxxee （）解：333.ln(3 )x xxxee dxe dxCe（）（）(13)2cot xdx思路:应用三角恒等式“” 。22cotcsc1xx解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC (14)2 35 2 3xxxdx 思路:被积函数 ，积分没困难。2 35 222533xx x x （）解：2( )2 35
8、2232525.33ln2ln3x xx x xdxdxxC （）(15)2cos2xdx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解：21cos11cossin.2222xxddxxxC(16)1 1cos2dxx5思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：2 21111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx(17)cos2 cossinxdxxx思路:不难，关键知道“” 。22cos2cossin(cossin )(cossin )xxxxxxx解：cos2(cossin )sincos.cossinxdxxx dxxxCxx(18)22cos2
9、cossinxdxxx思路:同上题方法，应用“” ，分项积分。22cos2cossinxxx解：22222222cos2cossin11 cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx22cscseccottan.xdxxdxxxC (19)11()11xxdxxx思路:注意到被积函数 ，应用公式(5)即可。 22211112 11111xxxx xxxxx解： 2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx(20)21cos 1cos2xdx x 思路:注意到被积函数 ，则积分易得。22 2 21cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx解：2
10、 21cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx2、设，求。( )arccosxf x dxxC( )f x知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质 1：即可。( )( )df x dxf xdx6解：等式两边对求导数得：x2211( ),( ) 11xf xf x xxx 3、设的导函数为，求的原函数全体。( )f xsin x( )f x知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，1( )sincosf xxdxxC 所以的原函数全体为：。( )f x112cossinx
11、C dxxC xC （）4、证明函数和都是的原函数21,2xxee shxxe chxsxe chxhx-知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：，而2x xeechxshxQ22xxxxdddee shxe chxedxdxdx1()25、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此2(,3)e曲线的方程。知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：，；( )yf x
12、1 ( )df xdxx( )ln |f xxC又点在曲线上，适合方程，有，2(,3)e23ln(),1eCC所以曲线的方程为( )ln | 1.f xx6、一物体由静止开始运动，经 秒后的速度是，问：t23 (/ )tm s（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？3 （2）物体走完米需要多少时间？360知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）7与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：，( )yf t则由速度和位移的关系可得：，23 ( )3( )f ttf ttCd dt又因为物体是由静止开
13、始运动的，。3(0)0,0,( )fCf tt(1) 秒后物体离开出发点的距离为:米；33(3)327f(2)令秒。33360360tt习题 4-21、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dxdxxdxdxx dxdx 2222111(4)();(5)(5ln |);(6)(35ln |);255 111(7)2 ();(8)(tan2 );(9)(arctan3 ).23cos 219xxdxdxe dxd edxdxxx dxdxdtdtdxdxxxt 2、求下列不定积分。知
14、识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式 的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中 专门介绍！（1）3te dt思路:凑微分。解：33311(3 )33ttte dte dteC(2)3(35 )x dx8思路:凑微分。解：33411(35 )(35 )(35 )(35 )520x dxxxxC d(3)1 32dxx思路:凑微分。解：1111(32 )ln |32 |.322322dxdxxCxx (4)3153dxx思路:凑微分。解：12 33 3311111(53 )(53 )(53 )(53 ).3325353dxdxxdxxCxx (5)(sin)x baxedx思路:凑微分。解：11(sin)sin()( )c
