《2018届高三数学第二轮复习(数列综合)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学第二轮复习(数列综合)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1数列综合数列综合 高考要考什么高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质，数列的极限、 无穷等比数列的各项和同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年 考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏其中小题主要考查1( )ad q、nnnaS、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力 要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内
2、容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综 合能力 （2）给出 Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力 （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列 突突 破破 重重 难难 点点【范例范例 1】1】已知数列na， nb满足12a ，11b ，且111131144 13144nnnnnnaabbab （2n）（I）令nnncab，求数列 nc的通项公式；
3、（II）求数列na的通项公式及前n项和公式nS解：（）由题设得11()2(2)nnnnababn，即12nncc（2n）易知 nc是首项为113ab，公差为的等差数列，通项公式为21ncn（II）解：由题设得111()(2)2nnnnababn，令nnndab，则11(2)2nnddn易知nd是首项为111ab，公比为1 2的等比数列，通项公式为11 2nnd 由1211 2nnnnnabnab，解得211 22nnan， 求和得21122nnnSn 【变式变式】（理）（理）已知二次函数( )yf x的图像经过坐标原点，其导函数为( )62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点( ,)()n
4、n SnN均在函数( )yf x的图像上。（）、求数列na的通项公式；（）、设11n nnba a，nT是数列 nb的前 n 项和，求使得20nmT 对所有nN都成立的最小正整数 m；解：（解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2, 得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上，所以nS3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）) 1(2) 132nn（6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （nN）（）由（）得知13nnnaab5) 1(
5、6)56(3 nn)161 561(21 nn，故 Tnniib121 )161 561(.)131 71()711 (nn21（1161 n）.因此，要使21（1161 n）a；（3）记lnn n nabaa（n=1,2,），求数列bn的前 n 项和 Sn。解析：（1）2( )1f xxx，, 是方程f(x)=0 的两个根()，1515,22 ；（2）( )21fxx，21115(21)(21)1244 2121nnnnn nnn nnaaaaaaaaaa=5 114(21)4212n naa，11a ，有基本不等式可知25102a（当且仅当151 2a时取等号），25102a同，样351
6、2a，51 2na（n=1,2,），（3）1()()(1)2121nnn nnn nnaaaaaaaa ，而1 ，即1 ，21() 21n n naaa，同理21() 21n n naaa，12nnbb，又113535lnln2ln1235b 352(21)ln2n nS【变式变式】对任意函数f（x），xD，可按图示 32 构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据x0D，经数列发生器输出x1f（x0）； 若x1D，则数列发生器结束工作；若x1D，则将x1反馈回输入端，再输出 x2f（x1），并依此规律继续下去现定义f（x）=124 xx（）若输入x06549，则由数列发生器产生数列xn请写
7、出数列xn的所有项； （）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （）（理）若输入x0时，产生的无穷数列xn满足：对任意正整数n,均有 xnxn1，求x0的取值范围 解：（）f（x）的定义域D（1）（1，）4数列xn只有三项x11911，x251，x31（）f（x）124 xxx即x23x20，x1 或x2即x01 或 2 时，xn1124 nn xxxn，故当x01 时，x01；当x02 时，xn2（nN N）（）解不等式x124 xx，得x1 或 1x2，要使x1x2，则x21 或1x12对于函数f（x）164124 xxx。若x11，则x2f（x1）4，x3f（
8、x2）x2 当 1x12 时，x2f（x）x1且 1x22 依次类推可得数列xn的所有项均满足 xn1xn（nN N）综上所述，x1（1，2），由x1f（x0），得x0（1，2）【范例范例 3】3】已知()nnnA ab，（nN*）是曲线xye上的点，1aa，nS是数列na的前n项和，且满足222 13nnnSn aS，0na ，2 3 4n ，（I）证明：数列2nnb b（2n）是常数数列；（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列na是单调递增数列；（III）证明：当aM时，弦1nnA A（nN*）的斜率随n单调递增解：（I）当2n时，由已知得222 13nnnSSn a因为10nnnaS
9、S，所以2 13nnSSn 于是2 13(1)nnSSn 由得163nnaan 于是2169nnaan 由得26nnaa， 5所以2262nnnna aan a nbeeebe，即数列2(2)nnbnb是常数数列（II）由有2112SS，所以2122aa由有3215aa，4321aa，所以332aa，4182aa而 表明：数列2ka和21ka分别是以2a，3a为首项，6为公差的等差数列，所以226(1)kaak，2136(1)kaak，2246(1)()kaakkN*，数列na是单调递增数列12aa且22122kkkaaa对任意的kN*成立12aa且2346(1)6(1)6(1)akakak1
10、234aaaa9151223218244aaaaa即所求a的取值集合是915 44Maa（III）解法一：弦1nnA A的斜率为1 111nnaa nn n nnnnbbeekaaaa 任取0x，设函数00( )xxeef xxx，则0 0 2 0()()( )()xxxexxeef xxx记0 0( )()()xxxg xexxee，则00( )()()xxxxg xexxeeexx，当0xx时，( )0g x，( )g x在0()x ，上为增函数，当0xx时，( )0g x，( )g x在0()x，上为减函数，所以0xx时，0( )()0g xg x，从而( )0fx，所以( )f x在0
11、()x，和0()x ，上都是增函数由（II）知，aM时，数列na单调递增，取0nxa，因为12nnnaaa，所以11nnaan nneekaa22nnaannee aa取02nxa，因为12nnnaaa，所以121 12nnaan nneekaa 22nnaannee aa6所以1nnkk，即弦1()nnA AnN*的斜率随n单调递增解法二：设函数11( )naxneef xxa，同解法一得，( )f x在1()na，和1()na，上都是增函数，所以111111limnnnnnaaax a nnannneeeekeaaxa ，211111 211limnnnnnaaax a nnannneee
12、ekeaaxa 故1nnkk，即弦1()nnA AnN*的斜率随n单调递增【变式变式】（理）在数列 na中，1 112(2)2 ()nn nnaaan N，其中0（）求数列 na的通项公式；（）求数列 na的前n项和nS；（）证明存在kN，使得11nknkaa aa对任意nN均成立（）解法一：222 22(2)22a，223233 3(2 )(2)222a ，334344 4(22 )(2)232a由此可猜想出数列 na的通项公式为(1)2nn nan以下用数学归纳法证明（1）当1n 时，12a ，等式成立（2）假设当nk时等式成立，即(1)2kk kak，那么1 11(2)2kk kaa 11(1)222kkkkkk11(1) 12kkk这就是说，当1nk时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式(1)2nn nan对任何nN都成立7解法二：由1 1(2)2 ()nn nnaan N，0，可得1 1 1221nn nn nnaa ，所以2n n na 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故21n nnan，所以数列 na的通项公式为(1)2nn nan（）解：设234123(2)(1)nn nTnnL， 345123(2)(1)nn nTnn
