《第30届全国中学生物理竞赛复赛试题解答与评分标准[我的清晰版]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第30届全国中学生物理竞赛复赛试题解答与评分标准[我的清晰版]（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -第第 3030 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准2013-09-212013-09-21【一一】（15分）一半径为、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球R面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为(). 求滑块在整个运动过程中可能达到0v00v的最大速率. 重力加速度大小为. g【参考解答参考解答】以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度分解成纬线切向 (水平方向)分v量及经线切向分量. 设滑块质量为，在某中间状态时，vvm滑块位于半球面内侧处，和球心
2、的连线与水平方向的夹角PPO为. 由机械能守恒得(1)222 0111sin222mmgRmm vvv这里已取球心处为重力势能零点. 以过的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为OO零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故. (2)0cosmRmRvv由 (1) 式，最大速率应与的最大值相对应. (3)maxmax()vv而由 (2) 式，不可能达到. 由(1)和(2)式，的最大值应与相对应，即 20v. (4)max()0v【(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得. 222 02sintan0gRvv0vOP- 2 -若，由
3、上式得sin0. 22 0sin2 cosgR v实际上，也满足上式。由上式可知sin =0. max 22 max0sin2 cosgR v由(3)式有. (4)222 maxmax0max()2sintan0gRvv】将 代入式(1)，并与式(2)联立，得max()0v. (5)222 0maxmaxmaxsin2sin1sin0gRv以为未知量，方程(5)的一个根是，即，这表示初态，其速率为最小值，不maxsinsin 0 0是所求的解. 于是. 约去，方程(5)变为maxsin0maxsin. (6)22 max0max2sinsin20gRgRv其解为. (7)222 0 max4
4、0sin1 1614g R gRv v注意到本题中，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当时，sin0max,(8)22422 001162g Rvvv考虑到(4)式有. (9)22422 max001162g Rvvvv【评分标准评分标准】本题 15 分. (1)式 3 分， (2) 式 3 分，(3) 式 1 分，(4) 式 3 分， (5) 式 1 分，(6) 式 1 分，(7) 式 1 分， (9) 式 2分. - 3 -【二二】（20 分）一长为 2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为 m的小物块 D 和一质量为（为常数）的小物块
5、 B，杆可绕通过小物块 B 所在端的竖直固定转m轴无摩擦地转动. 一质量为 m 的小环 C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环 C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为 l，劲度系数为 k，两端分别与小环 C 和物块 B 相连. 一质量为m 的小滑块 A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块 D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块 C 恰好静止在距轴为 （）处. rrl1. 若碰前滑块 A 的速度为，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；0v2. 若碰后物块 D、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块 A 的速度应满足的条件.0v【参考解答参考解答】1. 由于碰撞时间很小，弹
6、簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后 A、C、D 的速度分别为、tAvCv，显然有Dv. (1) DC2l rvv以 A、B、C、D 为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒. (2)DCA0222mlmrmlmlvvvv由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故t . (3)2222 DCA01111 2222mmmmvvvv由 (1)、(2)、(3) 式解得(4)2200022222248,888CDAlrlr lrlrlr vvvvvv【代替 (3) 式
7、，可利用弹性碰撞特点. (3)0DAvvv同样可解出(4). 】设碰撞过程中 D 对 A 的作用力为，对 A 用动量定理有1F,(5)221A0022428lrF tmmmlr vvv方向与方向相反. 于是，A 对 D 的作用力为的冲量为0v1F- 4 -(6)221022428lrF tmlr v方向与方向相同. 0v以 B、C、D 为系统，设其质心离转轴的距离为，则x. (7)22 (2)2mrm llrxm质心在碰后瞬间的速度为. (8)C 0224 (2) (2)(8)llrxrlrvvv轴与杆的作用时间也为，设轴对杆的作用力为，由质心运动定理有t2F. (9)210224 (2)28
8、llrFtF tmmlr vv由此得. (10)2022(2)28rlrF tmlr v方向与方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为0v,(11)2022(2)28rlrFtmlr v方向与方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程0v中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.【代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理. 】21CDFtF tmm vv【也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. 】2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下
9、才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块 C 以速度绕过 B 的轴做匀速圆周运动的向心力，即0224 8Clr lrvv(12)22 2C 022216 (8)l rk rmmrlrlvv则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块 A 的速度应满足的条0v件(13)220(8) 4k rlrlmrlv可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块 A 的速度大小应满足(13)式. 0v- 5 -【评分标准评分标准】本题 20 分. 第 1 问 16 分，(1)式 1 分， (2) 式 2 分，(3) 式 2 分，(4) 式 2 分， (5) 式 2 分，
10、(6) 式 1 分，(7) 式 1分，(8) 式 1 分，(9) 式 2 分，(10) 式 1 分，(11) 式 1 分；第 2 问 4 分，(12) 式 2 分，(13) 式 2 分. 【三三】（25 分）一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自mLO由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，1. 令表示细杆质量线密度. 当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，m LO其转动动能可表示为kEkL 式中，为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相k等时才相等. 由此求出、和的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中
11、在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数的值. k3. 试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距点为 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加Or速度大小为. g提示：如果是 的函数，而是的函数，则对 的导数为)(tXt)(tXY)(tX)(tXYtd ( )dd dddY X tYX tXt例如，函数对自变量 的导数为cos ( ) ttdcos ( )dcosd dddt tt 【参考解答参考解答】- 6 -1. 当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其动能是独立变量、和O的函数，按题意 可表示为L(1)kEkL 式中，为待定常数（单
12、位为 1）. 令长度、质量和时间的单位分别为、和（它们可视k LM T为相互独立的基本单位），则、和的单位分别为LkE(2)1122 , , , kMLT LLEMLT 在一般情形下，若表示物理量的单位，则物理量可写为 qqq(3)( ) qq q式中，表示物理量在取单位时的数值. 这样，(1) 式可写为( )qq q(4)()( ) ( ) ( ) kkEEkLL在由(2)表示的同一单位制下，上式即(5) ()( ) ( ) ( )kEkL(6) kEL将 (2)中第四 式代入 (6) 式得(7)22 MLTMLT (2)式并未规定基本单位、和的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的、和均 L
13、M T LM T成立，于是(8)1,2,3所以(9)23 kEkL2. 由题意，杆的动能为(10),c,rkkkEEE其中，(11)2 2 ,cc11()222kLEmLv注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅2L直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能为,rkE- 7 -(12)3 2 ,r2( , ,)222kkLLEEk 将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得(13)23 23212222LLkLLk由此解得(14)1 6k 于是. (15)Ek1 62L33. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒(16)sin2kLEmg由(15)、(16)式得. (17)3gsin L以在杆上距点为 处的横截面外侧长为的那一段为研究对象，该段质量为，其质OrLrLr心速度为. (18)22cLrLrr v设另一段对该段的切向力为(以增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为T(以指向点方向为正向)，由质心运动定理得NO(19)costTLr gLr a(20)sinnNLr gLr a式中，为质心的切向加速度的大小ta(21)3cosdddd d2d2ddt4c tLr gLrLrattL v而为质心的法向加速度的大小na. (22)23sin 22nLr gLra
