《山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编42 函数的最值与导数 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编42 函数的最值与导数 理 新人教a版（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1山东省山东省 20142014 届理科数学一轮复习试题选编届理科数学一轮复习试题选编 4242：函数的最值与导数：函数的最值与导数一、填空题1. （山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数31(0) ( )12 (0)3xexx f xxx x,给出如下四个命题:f(x)在2,)上是减函数; f(x)的最大值是 2;函数 y=f(x)有两个零点; f(x)423在 R 上恒成立;其中正确的命题有_(把正确的命题序号都填上). 【答案】 2. （山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理） ）已知2( ), ( )(1),xf xxeg xxa 若12
2、,x xR使得21()()f xg x成立,则实数 a 的取值范围是.【答案】1ae 【解析】( )(1)xxxfxexex e,当1x 时,( )0fx 函数递增;当1x 时,( )0fx 函数递减,所以当1x 时( )f x取得极小值即最小值1( 1)fe .函数( )g x的最大值为a,若12,x xR使得21()()f xg x成立,则有( )g x的最大值大于或等于( )f x的最小值,即1ae . 二、解答题3. （山东省 2013 届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知函数 ) 1(ln) 1()(23xxaxcbxxxxf,的图象过点)2 , 1(,且在点)1(, 1(f处的切线
3、与直线x015y垂直.(1)求实数cb,的值;(2)求)(xf在ee(, 1为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数a,曲线)(xfy 上是否存在两点 P,Q,使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角三 角形,且此三角形斜边的中点在y轴上【答案】 【解析】(1)当1x时,bxxxf23)(2, 由题意,得 , 5) 1(, 2) 1(ff即 , 523, 22 bcb解得0 cb. (2)由(1),知 ),1(ln),1()(23xxaxxxxf 当11x时,)23()(xxxf,由0)( xf,得320 x;由0)( xf,得01x或132 x.所以)(xf在)0 , 1和) 1
4、 ,32(上单调递减,在)32, 0(上单调递增. 因为2) 1(f,274)32(f,0)0(f,所以)(xf在) 1 , 1上的最大值为 2. 当ex 1时,xaxfln)(,当0a时,0)(xf;当0a时,)(xf在, 1 e上单调递增. 所以)(xf在, 1 e上的最大值为a. 所以当2a时,)(xf在, 1e上的最大值为a; 2当2a时,)(xf在, 1e上的最大值为 2. (3)假设曲线)(xfy 上存在两点 P,Q 满足题意,则 P,Q 只能在y轴两侧, 因为POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以0OQOP, 不妨设)0)(,(ttftP,则由POQ 斜边的中点在y轴上知
5、,( tQ )23tt ,且 1t.所以0)(232tttft.(*) 是否存在两点 P,Q 满足题意等价于方程(*)是否有解. 若10t,则23)(tttf,代入方程(*),得3232)(tttt0)2t, 即0124tt,而此方程无实数解; 当1t时,则tatfln)(,代入方程(*),得0)(ln232tttat,即ttaln) 1(1, 设) 1(ln) 1()(xxxxh,则011ln)(xxxh在), 1 上恒成立, 所以)(xh在), 1 上单调递增,从而0) 1 ()( hxh,即)(xh的值域为), 0 . 因为1t,所以ttthln) 1()(的值域为), 0( , 所以当
6、0a时,方程ttaln) 1(1有解,即方程(*)有解. 所以对任意给定的正实数a,曲线)(xfy 上总存在两点 P,Q,使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角三 角形,且此三角形斜边的中点在y轴上. 4. （山东省济南市 2012 届高三 3 月高考模拟题理科数学（2012 济南二模） ）已知函数f(x)=ax+lnx,其 中a为常数,设e为自然对数的底数. (1) 当a=-1 时,求f(x)的最大值; (2) 若f(x)在区间(0,e上的最大值为-3,求a的值;(3) 当a=-1 时,试推断方程( )f x=ln1 2x x是否有实数解.【答案】解:(1) 当a=-1 时,f(x)=-x+
7、lnx,f(x)=-1+11x xx 当 00;当x1 时,f(x)01ax0,即 00,g(x) 在(0,e)单调递增; 当xe时,g(x)g(x),即|f(x)| ln1 2x x 方程|f(x)|=ln1 2x x没有实数解 5. （山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学）已知函数 21ln1,2f xaxa xxaR(1)当时,求函数的单调区间;01a f x(2)已知对定义域内的任意恒成立,求实数的范围. 0f x xa【答案】 【解析】: xaxx xaxaxaxxaxf1112()当时,的变化情况如下表:10 a xfxf、xa，0a 1 , a1，1 xf
8、 +0-0+ xf单调 递增极 大 值单调递 减极 小 值单调 递增所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是 xf, 1, 0 a 1 , a()由于,显然时,此时对定义域内的任意不是恒成立的, af2110a01 f 0xfx当时,易得函数在区间的极小值、也是最小值即是,此时只要0a xf，0af211即可,解得,实数的取值范围是 01 f21aa21-，6. （山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考(数学理)）已知函数 .ln)2()(2xxaaxxf()当时,求曲线在点处的切线方程;1a)(xfy )1 (, 1 f（()当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围;
9、0a)(xf, 1 ea()若对任意,且恒成立,求的取值范围.2121), 0(,xxxx22112)(2)(xxfxxfa注:以下为附加题,附加题满分为 5 分,附加题得分计入总分,但附加题:23.已证:在中,分ABCcba,别是的对边.CBA,4求证:.Cc Bb Aa sinsinsin【答案】解:()当时, 1axxxfxxxxf132)(,ln3)(2因为. 2) 1 (, 0) 1 ( ff所以切线方程是 . 2y()函数的定义域是 xxaaxxfln)2(2)(），（0当时, 0a)0(1)2(21)2(2)( 2 xxxaax xaaxxf令,即, 0)( xf0) 1)(12
10、(1)2(2)( 2 xaxx xxaaxxf所以或 21xax1当,即时,在1,e上单调递增, 110a1a)(xf所以在1,e上的最小值是; )(xf2) 1 (f当时,在1,e上的最小值是,不合题意; ea11)(xf2) 1 ()1( faf当时,在(1,e)上单调递减, ea1)(xf所以在1,e上的最小值是,不合题意 )(xf2) 1 ()( fef()设,则, xxfxg2)()(xaxaxxgln)(2只要在上单调递增即可 )(xg），（0而 xaxax xaaxxg1212)( 2当时,此时在上单调递增; 0a01)( xxg)(xg），（0当时,只需在上恒成立,因为,只要,
11、 0a0)( xg），（0), 0( x0122axax则需要, 0a对于函数,过定点(0,1),对称轴,只需, 122axaxy041x082aa即. 综上 80 a80 a 【D】23【D】23(本小题满分 5 分,但卷总分不超过 90 分) 证法一:如图,在中,过点 B 作,垂足为 D ABCACBD , BDBD Q , CBCAABsinsin即, Cc AaCaAcsinsinsinsin5同理可证, Bb Aa sinsinCc Bb Aa sinsinsin证法二: 如图,在中,过点 B 作,垂足为 D ABCACBD )(180sinsinCAABCoCACACAsincos
12、cossin)sin(BCAAC BCABACAABBCBD ABAD BCCD ABBDsinsin, aAbsin, AbBasinsin同理可证, Bb Aa sinsinCc Aa sinsinCc Bb Aa sinsinsin7. （山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理（A） ）函数Raxaxnxxxf21)(.(I)若函数)(xf在1x处取得极值,求a的值;(II)若函数)(xf的图象在直线xy图象的下方,求a的取值范围;(III)求证:2012201320132012. 【答案】68. （山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学）设函数1(
13、)(2)ln2f xaxaxx.()当0a 时,求( )f x的极值;()当0a 时,求( )f x的单调区间;()当2a 时,对任意的正整数n,在区间11 ,62nn上总有4m个数使得1231234()()()()()()()()mmmmmf af af af af af af af aL成立,试问:正整数m是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由 【答案】解:(I)函数( )f x的定义域为(0,) 当0a 时,1( )2lnf xxx,222121( )xfxxxx 由( )0fx得1 2x . ( )f x,( )fx随x变化如下表: x1(0, )21 21( ,)
14、2( )f x0( )fx极小 值由上表可知,1( )( )22ln22f xf极小值,没有极大值 (II)由题意,222(2)1( )axa xfxx. 7令( )0fx得11xa ,21 2x 若0a ,由( )0fx得1(0, 2x;由( )0fx得1 ,)2x 若0a , 当2a 时,11 2a,1(0,xa或1 ,)2x,( )0fx; 1 1, 2xa ,( )0fx. 当2a 时,( )0fx. 当20a 时,11 2a,1(0, 2x或1,)xa ,( )0fx;11,2xa ,( )0fx. 综上,当0a 时,函数的单调递减区间为1(0, 2,单调递增区间为1 ,)2; 当2a 时,函数的单调递减区间为1(0,a,1 ,)2,单调
