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1、 1 创意平板折叠桌 摘 要 创意平板折叠桌设计巧妙，既能使桌子以自然的方式打开，又能轻松的折叠成平板模式，极大的提升运输效率和方便家居收纳。针对折叠桌的设计原理，我们建立了空间几何变换模型、单目标规划模型利用 MATLAB 软件对以下内容作一定程度的分析和研究： 针对问题一，我们建立了空间几何变换模型，设计 MATLAB 程序以最外侧桌腿旋转角度为自变量得到桌子展开过程的变动曲面， 输出最外侧桌腿旋转角为1.2798rad（桌子完全展开时最外侧桌腿倾斜角度）时的桌脚边缘线及 20 条桌腿的开槽长度（见表 4） 。 针对问题二，我们首先以长方形平板的尺寸、桌腿宽度、钢筋位置为决策变量，以产品稳
2、固性、加工难易程度、用材量为目标函数，建立多目标规划模型，然后通过加权系数法，把多目标模型转化成单目标规划模型。对于长方形平板宽度为 80cm，桌子高度为 70cm 的情形，结合问题一空间几何变换模型，设计MATLAB 程序得出最优设计加工参数，长方形平板尺寸为 166cm*80cm*3cm，钢筋位于距离长方形平板宽边为 33.48cm 的位置，桌腿宽度为 2.5cm，桌腿木条开槽长度见表 6。 针对问题三， 首先根据客户对桌高和桌面直径的要求依据模型二确定钢筋位置、开槽长度、桌腿宽度以及最外侧桌腿的长度，然后根据客户提供的桌脚边缘线在竖直平面内的投影曲线得到各桌脚距地面的高度， 在对桌腿倾斜
3、状态进一步分析后，得到桌腿的实际最终长度。最后依据模型三，设计了两种尺寸不同的创意平板桌，相应的设计加工参数以及动态变化图见表 7、表 8，以及图 6图 16。 关键词关键词：MATLAB 程序；CAD 软件；直纹曲面；结构稳固性 ； 设计加工参数；单目标规划；桌脚边缘线。 2 1.问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子， 桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。 桌腿由若干根木条组成， 分成两组， 每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上， 并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。 建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长
4、方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm， 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置， 折叠后桌子的高度为53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程， 在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数(例如，桌腿木条开槽的长度等)和桌脚边缘线的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求， 讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，
5、根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。 2.模型假设 (1)假设桌腿木条的空槽与钢筋之间的摩擦力极小，可忽略不计； (2)基于各桌腿切割时，桌腿之间间隙极小，忽略间隙对桌腿条数的影响； (3)假设长方形平板的厚度为 3cm 时，为该平板折叠桌的最合理厚度值； (4)基于各桌腿在桌子展开过程中存在一定的间隙，桌腿之
6、间的摩擦力极小，忽略桌腿之间的摩擦力。 3 3.通用符号说明 序号 符号 符号说明 1 a 长方形平板的长度 2 b 长方形平板的宽度 3 d 桌腿宽度 4 w 圆桌面木条宽度的一半 5 h 折叠桌高度 6 l 桌腿长度 7 最外侧桌腿倾斜角 8 桌腿木条的开槽长度 9 i 不同的设计方案 10 n 圆桌面、桌腿木条序号 11 N 最外侧桌脚之间的距离 12 M 桌腿切割次数 13 钢筋位置距离桌腿上端的距离与桌 腿长度的比 4.问题一模型的建立与求解 4.1 问题分析 本题要求建立模型描述折叠桌的动态变化过程， 并在此基础上给出折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。 我们拟建立坐标系，
7、得出各桌脚边缘点的坐标，设计 MATLAB 程序，在折叠桌展开过程中，依据最外侧桌腿旋转角度的变动对桌子展开过程进行动态分析，最外侧桌腿木条每旋转 0.01rad，记录一次所有桌腿边缘点的坐标，直至旋转至最终停止位置时的最外侧桌腿倾斜角度，即为桌子展开的动态变化过程。 其中桌腿旋转角度的变化范围为 0 至桌子完全展开时最外侧桌腿木条的倾斜角度，可通过桌腿长度及桌子高度确定。然后通过MATLAB 程序输出最终停止位置的桌脚边缘线。 其中，桌脚边缘点坐标的得出需要各桌腿的参数值，拟通过分析桌子的动态展开过程，即桌腿的空间几何位置变换，建立空间几何变换模型，按照下述步骤对桌腿的各种参数进行求解， 最
8、终建立模型。以求取最终停止位置桌脚边缘点坐G4 标为例，首先我们根据给定的长方形平板尺寸，木条宽度，利用勾股定理确定出每条圆板木条的长度， 进而确定每条桌腿木条的长度；然后根据折叠后桌子的高度以及着地桌腿木条（即最外侧桌腿木条）的长度确定着地桌腿的倾斜角度，利用相似三角形、余弦定理等依次求出每条桌腿的倾斜角度、桌腿上端与着地桌腿（第一条桌腿）上端的距离、第 n 条桌腿下端距离地面的高度、第 n 条桌腿底端与着地桌腿底的垂直距离，建立三维坐标系，得桌脚边缘点坐标。不同倾斜角度时各桌脚边缘点所围成曲面可用来展示折叠桌的动态变化过程。设计MATLAB 程序输出最终停止位置的桌脚边缘线。 通过观察折叠
9、桌的动态变化过程， 分析桌腿在空间上的几何位置变换，易得桌腿木条上的开槽长度=折叠桌展开前钢筋位置至长方形平板边缘的距离展开后该桌腿上钢筋稳定位置至桌脚的距离， 问题转化为折叠桌展开后，每条桌腿钢筋最终稳定位置与桌脚的距离， 可通过平移 1 条桌腿使之与最外侧桌腿相交，构成的相似三角形建立几何关系得出。 4.2 模型准备 1坐标系的建立 以桌子的一个最外侧桌脚为原点，长方形平板宽的方向为 X 轴，长的方向为 Y 轴，垂直于该平板的方向为 Z 轴建立坐标系。 2.将作为坐标系原点的最外侧桌脚的桌腿编号为 1，依次向下编号。 3.桌腿之间的关系 将折叠桌桌腿分成两组， 只研究其中一组，另一组桌腿的
10、各种参数与之对应相同。桌子展开后，选择最外侧桌腿为基准，其他任意桌腿与最外桌腿之间通过钢筋相连接。将这两根桌腿木条平移至相交，形成一对相似三角形，见图 1。 图 1 桌腿木条之间构成的几何形状 Y 轴 Z轴 Ln L1 H Zn Yn Cn Kn 5 4折叠桌各参数的求解 在建立的坐标系基础上， 结合折叠桌展开过程中， 桌腿空间几何位置的变动，对桌腿的各参数进行求解。 (1)利用勾股定理求取圆板木条长度的一半 22 1( )()222bbdw 22( )(* )222nbbdwdn(1)(2)求取每条桌腿的长度 112alw 22( )(* )22222nnaabbdlwdn(2)(3)求取最
11、外侧桌腿的倾斜角度 13arcsinh l(3)(4)第 n 条桌腿上端与最外侧桌腿(第一条桌腿)上端的距离 12nnaklw(4) (5)利用余弦定理求取第 n 条桌腿开槽下端距该条桌腿最上端的距离 221( )* *cos2nnnlckkb(5)(6)利用相似三角形求取第 n 条桌腿下端距离 Y 轴的距离 (1)2n n nlhzc(6) (7)利用相似三角形求取第 n 条桌腿底端至坐标轴 Z 轴的距离 ()*cotnn nnn nlcykzc (7) 6 4.3 模型的建立 1桌子展开过程，实则是桌腿在空间上的位置转换，我们暂且忽略长方形平板的厚度，建立空间几何变换模型。 根据模型准备中
12、公式(1)公式(8)，对于第 n 条桌腿，在最外侧桌腿旋转角为任意角时，第 n 个桌脚坐标的表达式为： 2.5*( )()*(1)*cot2(1)2nnnn nnn nnn n nxnlclhykcclhzc (8)nl 见公式(2)； nc 见公式(5)，根据公式(1)(4)可转化为与旋转角度之间的函数。 2第 n 条桌腿的开槽长度 1*2nnnlGlc(9) nl 见公式(2)；nc 见公式(5)， a、b、d 分别为长方形平板尺寸的长、宽、高；h 为桌子的高度。 4.4 模型求解 根据所建立空间几何变换模型，设计 MATLAB 程序对本题各小问依次进行求解。本题所涉及的 MATLAB 程
13、序见附录 1。 1.描述折叠桌动态变化过程描述折叠桌动态变化过程 利用公式(1)(2)(3)求出在长方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，展开后桌子的高度为 53 cm 时，根据公式(3)计算出桌子完全展开时最外侧桌腿的倾斜角度为 1.2798rad， 约 73.4 度。 根据空间几何变换模型 （公式(8)） ， 得出在 a=120cm，b=50cm，d=2.5cm，h=53cm 时桌子展开过程中边缘线的曲面轨迹表达式。设计MATLAB程序， 求取在最外侧桌腿木条旋转角度由0至1.2798rad的变化过程
14、中，每旋转 0.01rad 各桌腿边缘点的坐标， 输出每个旋转角度下的桌脚边缘点的坐标。7 桌子展开过程变动曲面见图 2。曲面表达式为： 2.5*( )()*(1)*cot2(1)2nnnn nnn nnn n nxnlclhykcclhzc nl 见公式(2)；nc 见公式(5)，根据公式(1)(4)可转化为与旋转角度之间的函数。 图 2 折叠桌展开过程桌脚运动图 由图 2， 可看出折叠桌展开过程中， 桌腿的动态变化过程。 桌子展开过程中，桌腿倾斜角度的变化率由边缘向中心递增，中心两侧桌腿的动态变化过程对称。 2.求解折叠桌的设计加工参数求解折叠桌的设计加工参数 在上述折叠桌动态变化过程的基
15、础上，根据公式(9)，设计 MATLAB 程序，计算出每条桌腿木条开槽的长度见表 4。 表 4 20 条桌腿木条的设计开槽长度 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 槽长/cm 0 4.423609 7.773217 10.50734 12.75263 14.56835 15.98934 17.03821 17.72987 18.0735 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 槽长/cm 18.0735 17.72987 17.03821 15.98934 14.56835 12.75263 10.50734 7.773217 4.423609 0 由外侧
16、桌腿向内，桌腿需开槽长度越来越长，与实际相符。对称位置的各长度参数、加工参数均相等。 3.桌脚边缘线的数学描述桌脚边缘线的数学描述 0204060-70-60-50-40-30-20-10-50-45-40-35-30-25-20-15-10-508 设计 MATLAB 程序，当最外侧桌腿旋转角度为 1.2798rad 时，对桌腿的长度，第 n 条桌腿底端距离 Y 轴、Z 轴的长度等主要参数进行求解。求解结果见表1、表 2、表 3。 表 1 20 条桌腿的长度 编 号 1、20 2、19 3、18 4、17 5、16 6、15 7、14 8、13 9、12 10、 11 长 度 52.19 375 46.83 043 43.46 405 41.00 164 39.12 088 37.67 429 36.58 126 35
