椭圆习题精选精讲[1]

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1、 中学数学免费网 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习| 研究|探讨| 收藏之用，版权归原作者所有！椭 圆（1）第一定义把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了 2 个新的定点焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.【例 1】 若点 M 到两定点 F1（0，-1 ） ，F 2（0，1）的距离之和为 2，则点 M 的轨迹是 （ ）.椭圆 .直线 .线段 .线段 的中垂线.AB2C2D1F【解析】注意到 且 故点 M 只能在线段 上运动，即点 M 的轨迹就是线段 ，选 C.1,1,2 21F

2、【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选 A.（2）勾股数组椭圆方程的几何特征椭圆的长、短半轴 a、b 和半焦距 c，满足 .在 a、b、c 三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第 32=2+2个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.【例 2】已知圆 ，圆 内一定点 （ 3，0） ，圆 过点 且与圆 内切，求圆心 的轨迹方程. 103:2yxAABPBAP【解析】如图，设两圆内切于 C，动点 P（x，y

3、） ，则 A、P 、 C 共线 . 连 AC、PB ， B为定长，而 A（-3，0） ，B（3，0）为定点，圆心 的轨迹是椭圆.且 .所求轨迹方程为：5,4acb. 2156xy（3）第二定义椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.【例 3】已知椭圆 ，能否在此椭圆位于 y 轴左侧部分上找一点 P，使它到左准线的距离是它到两焦点 F1，F 2 距离的比1342yx例中项.【解析】由椭圆方程知： .1,2abce椭圆的左准线为： .设存在椭圆上一点 P（

4、x，y）:lx（x0，取 ，选 D.22568033k【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. （2）导数法把方程与函数链接由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.【例 5】求证：过椭圆 上一点 的切线方程为： .21xyab0,Mxy021xyab【证明一】 （解析法）设所求切线方程为： ，代入椭圆方程：00k.化简得：220bxakxy22 2001akxakyb直线与椭圆相

5、切，方程（1）有相等二实根.其判别式=0，即：.2 22420 04kaxyb化简得： 0ky点 在椭圆上， ，方程（2）之判别式0,Mxy220xa.22 2210 0044abybxay故方程（2）亦有相等二实根，且其根为：XYOC(2,0)P(x,y) 中学数学免费网 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习| 研究|探讨| 收藏之用，版权归原作者所有！.则切线方程为：22200002xybxybxykaa.再化简即得： .200y021b【证明二】 （导数法）对方程 两边取导数：21xyab.则切线方程为：22020xxyykaby.再化简即得： .200xa021ab【评注】 （1）两种

6、证法的繁简相差多大，一看便知（2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.（3）几何法为解析法寻根朔源减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.【例 6】 （07.湖南文科.9 题）设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为12F， 21xyab0aP（ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（ ）3c12|PA BC D125122【解析】如图有 ，设右准线交 x 轴于 H，2,3aPc 212 2|, 60FHPF且 ， 故，选 D.22 1aHcOce，【例 7】已知椭圆 和圆42yx2ax1y总有公共点，则实数 的取值范

7、围是 （ ）a.,.3,.,ARBCD【解析】如右图椭圆 的中心在原点，142yx且长、短半轴分别为 a=2，b=1 ；圆 a2y的圆心为 C（a ，0）且半径 R=1.显然，当圆 C 从椭圆左边与之相切右移到椭圆XYOF1 F H2( ,3)aP cc2cXOYC(a,0)1-1 2- 中学数学免费网 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习| 研究|探讨| 收藏之用，版权归原作者所有！右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3 增加到 3，故 a ，选 C.,在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.

8、（4）转移法将生疏向熟知化归做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.【例 8】 （06.全国一卷.20 题）在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点，离心率为 的椭圆.设椭xOy)3,0(1F),(2 23圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x,y 轴的交点分别为 A,B 且向量 OM=OA+OB.试求点 M 的轨迹方程【分析】点 P 在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，是主动点；点 M 在未知轨迹上，且随着点 P 的运动而运动，是被动

9、点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标转移法解之.此外，过椭圆上一点 P 的切线方程，可以直接运用例 5 的结论.【解析】椭圆的半焦距 ，离心率3c3,2cea.又椭圆的焦点在 y 轴上，故其2a长 半 轴 ， 短 半 轴 b=1方程为： .4yx设点 P 的坐标为 那么00yx， ， ， 2014yx过点 P 的椭圆切线方程为： 014在方程（2）中，令 y=0，得 .00 004xAxyBx y ， 有 ， ； 再 令 ， 得 ， 有 ，设点 M 的坐标为 .由 OM=OA+OB， y00011x， y， ， ，代入（1）： .0014xxy241xy ，所求点 M 的轨迹方

10、程是： .2x， ， ， 241xxy， y2转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点 M（x 0，y 0） ，并写出其满足的已知关系式；（2）设 P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用 x，y 的代数式分别表示 x0，y 0，代入（1）中的关系式化简即得.XYOABP(x , y00 )M(x,y) 中学数学免费网 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习| 研究|探讨| 收藏之用，版权归原作者所有！图 2（5）三角法与解析法珠联璧合三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是： ，既sinx

11、acoyb将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.【例 9】若 P 是椭圆 上的点，F 1 和 F2 是焦点，则 的最大值和最小值分别是342yx 21PFk【解析】椭圆的长、短半轴分别为 a=2，b= ，半焦距 c=1.焦点坐标分别为：F 1（-1 ，0） ，F 2（1，0）.设椭圆上一点为，那么2cos,3in.221s13sincos42cosPF同理； .于是2co21s2cscsk 故所求最大值为 4，最小值是 3.【例 10】如图 1，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程；（

12、2）在椭圆上任取三个不同点 ，321,P使 ，证明321FPF为定值，并求此定值.|【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题，是压轴题.难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.有关的 3 条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有 3 个相等的角度，应不失时机地引入三角知识.【解析】椭圆的半焦距 c=3，右准线 x = 12.22221,36,7abacc故椭圆方程为： ，其离心率 .217xy1e如图 2 设 为椭圆上符合条件的三点，令 .作 P1H1 于 H1，123,P

13、Pxy123,FPrFrl令 ，1Hd设P 1Fx= 则P 2Fx=+120P 3Fx= 120-.于是 ，而12redxXYOFP1P2 P3l图 1XYOFl,222(,)Pxy 111(,)Pxy333(,)Pxy120,120 H 中学数学免费网 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习| 研究|探讨| 收藏之用，版权归原作者所有！.11193cos,29cos2cosxrrr同理： .于是23,(0)(0)12312coscs12cos(120)|9FP ，故为定值.6cos93如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁圆锥曲线的极坐标方程是： .其中 e 是椭圆的离心率，p 是

14、相应焦点到准线的距离， 是极径与极轴的夹角.1cos巧用定义求椭圆中四类最值问题圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。一、 的最值若 A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，e 是 C 的离心率，求 的最小值。例 1. 已知椭圆 内有一点 A（2，1），F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上的动点，求 的最小值。分析：注意到式中的数值“ ”恰为 ，则可由椭圆的第二定义知 等于椭圆上的点 P 到左准线的距离。这种方法在本期椭圆中减少运算量的主要方法一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为 。二、 的最值若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点），P 为 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，求 的最值。例 2. 已知椭圆 内有一点 A（2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求 的最大值与最小值。解：如图 1，设椭圆的右焦点为 ，可知其坐