传热过程的有限元分析

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1、 有限元分析基础教程 曾攀 第第 8 章章 传热过程的有限元分析传热过程的有限元分析 8.1 传热过程分析的基本原理传热过程分析的基本原理 传热(heat transfer)是一种普遍的自然现象，它涉及到能源、环境、结构等一系列对象 的交互作用，如建筑物的隔热保暖的环保型设计，发动机的循环冷却系统，高速列车制动的 冷却系统、车箱的保温系统、宇宙飞船的人/机热环境系统、返回舱的隔热系统、运载火箭 的热防护系统， 甚至计算机芯片的散热系统都将是整个系统的关键问题。 下面主要针对传热 以及热应力问题进行讨论。 8.1.1 传热过程的基本方程传热过程的基本方程 【基本方程】【基本方程】8.1.1(1)

2、 传热过程的基本变量及方程传热过程的基本变量及方程 传热过程的基本变量就是温度，它是物体中的几何位置以及时间的函数。 根据 Fourier 传热定律(heat transfer theorem)和能量守恒定律(energy conservation theorem)，可以建立热传导问题的控制方程(governing equation)，即物体的瞬态温度场应满足以下方程 ),(tzyxT()()()xyzTTTQcTT xxyyzz+=t(8-1) 其中为材料密度()3kg/m；为材料比热(specific heat)Tc()J/(kg K)；x、分别为沿 x，y，z 方向的热传导系数(ther

3、mal conductivity of material)yz()()W/ m K；为物体内部的热源强度(strength of heat source),(tzyxQ()W/kg。 传热边界条件有三类，即 第一类 BC(S1) )(),(tTtzyxT= on S1 (8-2) 第二类 BC(S2) ( )xxyyzzfTTTnnnqxyz+=t on S2 (8-3) 第三类 BC(S3) (xxyyzzcTTTnnnh Txyz+=)Ton S3 (8-4) 其中、为边界外法线的方向余弦，xnynzn)(tT为在边界 S1上给定的温度；( )fqt为在边界 S2上的给定热流量()，2W/

4、mch为物体与周围介质的热交换系数(heat transfer coefficient)；T为环境温度(temperature of surrounding medium)；t为时间；()()2W/ mK( )s258有限元分析基础教程 曾攀 并且物体的边界为321SSS+=。 【求解原理】【求解原理】8.1.1(2) 传热过程分析的求解原理传热过程分析的求解原理(求极值问题求极值问题) 若该问题的初始条件(initial condition)IC 为 ),()0,(0zyxTtzyxT= (8-5) 求解传热问题的提法为， 在满足边界条件(8-2)(8-4)及初始条件(8-5)的许可温度场中

5、， 真实 的温度场使以下泛函 I 取极小值，即 ()123222,1()()()2()d2minxyzT BC S SSTICTTTTIQxyzt =+cT (8-6) 在实际问题的处理过程中，边界条件(8-3)和(8-4)事先较难满足，因此，可将这两个条件耦合 进泛函(8-6)中，即 ()()1232222SS1()()()2()d21dd2minxyzT BC S ICfcTTTTIQcTxyztq T Ah TTA =+(8-7) T这实际上与结构分析中的最小势能原理类似，也是求一个积分函数(称为泛函)的极值问 题。 8.1.2 稳态传热过程的有限元分析列式稳态传热过程的有限元分析列式

6、对于稳态问题(steady problem)，即温度不随时间变化，有 0= tT(8-8) 【单元构造】【单元构造】8.1.2(1) 稳态传热过程的单元构造的基本表达式稳态传热过程的单元构造的基本表达式 将物体离散为单元体，将单元的温度场(), ,eTx y z表示为节点温度的插值关系，有 ()(), , ,e TTx y zx y ze=Nq (8-9) 其中(, ,)x y zN为形状函数矩阵，为节点温度列阵，即 e Tq12Te TnTTT=q? (8-10) 其中，为节点温度值。将(8-9)式代入到(8-7)，并求泛函极值，1T2TnTe TI=0q，有 ee TTe T=KqP (8

7、-11) 其中 259有限元分析基础教程 曾攀 3ddeeTTT e TxyzT cSxxyyzzhA =+ +NNNNNNKN N(8-12) 23ddeeeeTT TfSSQqAh TdT c=+PNNN (8-13) 方程(8-11)叫做单元传热方程，称为单元传热矩阵(heat transfer matrix)，为单元节点温度列阵，为单元节点等效温度载荷列阵。 e TKe Tqe TP由泛函(8-7)式中的最高阶导数可以看出，传热问题为 C0问题，并且温度场为标量场， 因此，所构造的有限元分析列式比较简单。 【单元构造】【单元构造】8.1.2(2) 平面平面 3 节点三角形传热单元节点三

8、角形传热单元 图 8-1 所示为一由 3 节点组成的平面三角形传热单元 图 8-1 平面三节点三角形传热单元 该单元的节点温度列阵为 Te TijmTTT=q (8-14) 根据第 4.3.1 节中关于一般 3 节点三角形单元的插值函数描述，取单元温度场的插值关系 (), ,ee iijjmmTTx y zN TN TN T=+=N q (8-15) 其中形状函数矩阵N为 ijmNNN=N (8-16) 而 1()21111iiiijj ijm mmj ij mj ij mNab xc yA xyax yxyybyyyxcxxx=+= = +mjmmx y260有限元分析基础教程 曾攀 （mj

9、i,循环） 下面就以下三种情形推导该热传导单元的传热矩阵和节点等效温度载荷列阵 e TKe TP? 无传热边界，即完全为内部单元； ? 如果该单元的 jm 边为第二类传热边界 BC(S2)时：由 gf参数来描述， ? 如果该单元的 jm 边为第三类传热边界 BC(S3)时：由 hc参数来描述。 完全为内部单元（无传热边界） 完全为内部单元（无传热边界） 将形状函数表达式(8-16)代入和的计算公式(8-12)及(8-13)中 （注意这里仅考虑二维问题） ，有 e TKe TP4ijmijmiiijim ex Tjijjjmm imjmmTTTTTTbbbbbbb bb bb bAb bb bb

10、 b = K4iiijim y jijjjmm imjmmccccccc cc cc cAc cc cc c + (8-17) 1 3 1 3 1 3e TQAQAQA = PmjiTTT(8-18) 对于对于 jm 边为传热边界边为传热边界 BC(S2)时时 将形状函数表达式(8-16)和 BC(S2)的式(8-3)代入和的计算公式(8-12)和(8-13)中（注意这里仅考虑二维问题）有 e TKe TP4ijmijmiiijim ex TjijjjmmimjmmTTTTTTbbbbbbb bb bb bAb bb bb b = K4iiijim y jijjjmmimjmmccccccc

11、cc cc cAc cc cc c + (8-19) 1 3 11 32 11 32e TfmjiTTTfQAQAq lQAq l =+ +P(8-20) 对于对于 jm 边为传热边界边为传热边界 BC(S3)时时 同样，将形状函数表达式(8-16)和 BC(S3)的式(8-4)代入和的计算公式(8-12)和e TKe TP261有限元分析基础教程 曾攀 (8-13)中，有 4ijmijmijiiij ex TTTTTTTTTTbbbbA =Km000102146012imiiijim y jijjjmjijjjmcm imjmmm imjmmbbccccccb bb bb bc cc cc

12、ch lAb bb bb bc cc cc c+(8-21) 1 3 11 32 11 32e TcmjiTTTcQAQAh T lQAh T l =+ +P(8-22) 8.1.3 热应力问题的有限元分析列式热应力问题的有限元分析列式 研究物体的热问题包括两个部分内容：(1) 传热问题研究，以确定温度场；(2)热应力问 题研究，即在已知温度场的情况下确定应力应变。实际上这两个问题是相互影响和耦合的。 但在大多数情况下，传热问题所确定的温度将直接影响物体的热应力(stress of temperature effect)，而后者对前者的耦合影响不大；因而可将物体的热问题的解耦分成两个过程来进行

13、 计算， 关于传热问题的有限元分析列式前面已作讨论， 下面讨论在已知温度分布的前提下所 产生的热应力。 【基本方程】【基本方程】8.1.3(1) 热应力问题中的物理方程热应力问题中的物理方程 设物体内存在温差的分布，那么它将引起热膨胀，其热膨胀量(也称为热应变)为( , , )T x y z( , , )TT x y z，T为热膨胀系数(thermal expansion coefficient)；则该物体的物理方程由于增加了热膨胀量(温度正应变)而变为 1()1()1()111,xxyzTyyxzTzzxyTxyxyyzyzzxzxTETETEGGG =+ =+ =+ =(8-23) 可将上式写成指标形式 (8-24) 01 ijklijklijD+=或 (8-25) )(0 klklijklijD=262有限元分析基础教程 曾攀 其中热应变为 0000T ijTTTTTT= (8-26) 【求解原理】【求解原理】8.1.3(2) 热应力问题求解的虚功原理热应力问题求解的虚功原理 热应力问题的物理方程为式(8-25), 除此之外, 其平衡方程、 几何方程以及边界条件与普 通弹性问题相同，弹性问题的一般虚功原理