《有限元分析中的若干问题讨论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元分析中的若干问题讨论（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 有限元分析基础教程 曾攀 第第 5 章章 有限元分析中的若干问题讨论有限元分析中的若干问题讨论 有限元方法的一个突出特点就是它的许多变量和矩阵表达式都具有确切的物理含义， 这对于我们更好地理解和掌握有限元分析的实质提供了背景，本章将全面讨论这方面的内 容；另外，我们求解复杂问题的目的就是希望获取最高精度的结果，但有限元方法是一种数 值方法， 高精度的追求必然带来计算量的急剧增加， 因此必须综合考虑求解精度和计算量这 两方面因素，以达到最佳的效率，即以较合理的计算量来获得满意的精度，这就涉及到误差 控制这一专题，本章也将就这一部分内容进行讨论。 5.1 单元的节点编号与总刚度阵的存储带宽单元的
2、节点编号与总刚度阵的存储带宽 有限元分析中的一个特点就是需将各个单元进行组装， 组装的数学处理过程就是将单元 矩阵的各个系数按照相关的节点编号放到整体矩阵中， 由于仅有在同一单元中相关联的节点 才会在整体矩阵相应的行及列中出现刚度系数，则在整体矩阵中，必然会有大量的零数据， 为节省存贮空间，一般只需存贮非零数据，可以看出，单元和节点的编号将直接影响到非零 数据在整体刚度矩阵中的位置， 我们希望非零数据越集中越好， 反映非零数据集中程度的一 个指标就是带宽(bandwidth)。下面具体讨论单元节点编号(nodal numbering)与带宽之间的关 系。 1 2 678534i图 5-1 2D
3、 问题的节点编号 如图 5-1 所示 2D 连续体的单元和节点编号，第 i 个单元的节点位移列阵为 (5-1) 335566iTuvuvuv=（）q该单元装配时在整体刚度矩阵中对应于(5-1)式的位置，具体地见式(5-2)。 8877665544332211vuvuvuvuvuvuvuvu 对 称 第i 个单元的半带宽 8877665544332211vuvuvuvuvuvuvuvu=K(5-2) 由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的 DOF 数为 ，则每一个单元在整体刚度169有限元分析基础教程 曾攀 矩阵的半带宽(semi bandwidth)为： (),idi=第 个单元中节点编号的
4、最大差值1 (5-3) 则整体刚度矩阵的最大半带宽为 () 1,2,3,iidmax din=? (5-4) 其中 n 为整个结构系统的单元数。显然，对于 2D 问题，有 2，对于 3D 问题，有 3。 因此在计算机中，一般都采用二维半带宽存储刚度矩阵的系数，为等带宽存储，也可以 采用一维变带宽存储， 这虽然更能节省存储空间， 但必须定义用于主对角元素定位的辅助数 组。 5.2 单元形状函数矩阵与刚度矩阵的性质单元形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 形状函数矩阵与刚度矩阵在有限元方法中占有最重要的位置， 同时它们也具有非常明确 的物理意义，分析和了解它们的性质对于我们更深层次地掌握有限元方法具有重要
5、的作用。 下面以一维杆单元为例进行讨论，其结论完全可以推广到一般单元。 5.2.1 形状函数矩阵的性质形状函数矩阵的性质 以一维杆单元为例来讨论一般情况下形状函数矩阵的性质，由第 4.3 可知，杆单元的位 移场为 1122( )( )( )( )eu xN x uNx ux=+= Nq (5-5) 其中为节点位移，为对应于节点 1 和节点 2 的形状函数，21uu、12( ),( )N xNx( ) xN为形状函数矩阵，即12( )( )( )xN xNx=N；下面分三种情况具体讨论。 1. 考虑单元左端发生单位位移考虑单元左端发生单位位移，而右端固定时的情形而右端固定时的情形 此时，令, 由
6、式(5-5)，有 0, 121=uu1( )( )u xN x= (5-6) 式(5-6)说明对应于节点 1 的形状函数的意义为：当节点 1 的位移为 1，而其它节点位移为零时的单元位移场。 1( )N x2. 考虑单元左端固定考虑单元左端固定，而右端发生单位位移时的情形而右端发生单位位移时的情形 此时，令，由式(5-5)，有 1, 021=uu2( )( )u xNx= (5-7) 由此，可以总结出形状函数的以下性质。 【基本原理】【基本原理】5.2.1(1) 单元形状函数性质单元形状函数性质 1：0/1 性质性质 iN表示在i点的节点位移为 1， 其它节点位移为 0 时的单元位移场函数,
7、如图 5-2 所示。 图 5-2 1D 杆单元的形状函数 3. 考虑单元发生刚体位移的情形考虑单元发生刚体位移的情形 设单元有刚体位移0u，由于是刚体位移，则单元的位移场函数及节点位移 170有限元分析基础教程 曾攀 都为0u，即 0120( )u xuuuu= =(5-8) 代入位移场的表达式(5-5), 有 02010)()(uxNuxNu+= (5-9) 消去0u后，有 1)()(21=+xNxN (5-10) 由此，可以总结出形状函数的另一性质。 【基本原理】【基本原理】5.2.1(2) 单元形状函数性质单元形状函数性质 2：和：和 1 性质性质 单元的形状函数满足：在单元的任意点处
8、1( )1ni iN x=(5-11) 其中 n 为单元的节点数，它表明形状函数能够描述单元的刚体位移。 5.2.2 刚度矩阵的性质刚度矩阵的性质 仍然以一维 2 节点杆单元为例, 它的刚度方程为 111211212222kkup kkup=(5-12) 下面分两种情况进行具体讨论。 1. 考虑单元左端发生单位位移，而右端固定时的情形考虑单元左端发生单位位移，而右端固定时的情形 这时，有, 将该条件代入式(5-12)中，有 0, 121=uu111kp= (5-13) 这表明，为保持这样一种状态（即使节点 2 的位移为零，使节点 1 产生单位位移）而需要在节点 1 上所施加的力，如图 5-3(
9、a)所示。 11k(a) 的物理含义 11k(b) k12的物理含义 图 5-3 刚度系数的物理含义 将该性质推广到单元刚度矩阵中的对角线元素，有以下描述。 【基本原理】5.2.2(1)【基本原理】5.2.2(1) 单元刚度矩阵性质 1：对角线元素的 1/0 性质 单元刚度矩阵性质 1：对角线元素的 1/0 性质 171有限元分析基础教程 曾攀 单元刚度矩阵的对角线元素表示要使单元的第i个节点产生单位位移()， 而其它节点位移为 0 时，需在节点i所施加的力。 iik1=iu2. 考虑单元左端固定，而右端发生单位位移时的情形考虑单元左端固定，而右端发生单位位移时的情形 这时，有,将该条件代入(
10、5-12)式中，有 1, 021=uu121kp= (5-14) 这表明，为保持这样一种状态（即使节点 1 的位移为零，使节点 2 产生单位位移）而需要在节点 1 上所作用的力，如图 5-3(b)所示。 12k将该性质推广到单元刚度矩阵中的非对角线元素，有以下描述。 【基本原理】【基本原理】5.2.2(2) 单元刚度矩阵性质 2：非对角线元素的 1/0 性质单元刚度矩阵性质 2：非对角线元素的 1/0 性质 单元刚度矩阵的非对角线元素(ijkij)表示要使单元的第j个节点产生单位位移(), 而其它节点位移为 0 时, 需要在第i个节点所施加的力。 1=ju【基本原理】【基本原理】5.2.2(3
11、)3) 单元刚度矩阵性质 3：对称性质 单元刚度矩阵性质 3：对称性质 单元刚度矩阵是对称(symmetry)的，即 ddeeTeTTTe =KB DBB DB= K (5-15) 这一性质也可由功的互等定理 （reciprocal theorem of work） 来推论。 该定理又称 Betti-Maxwell 定理， 即对于线性弹性体， 第一种加载状态下的外力在第二种加载状态下发生的相应位移上 所做的功，等于第二种加载状态下的外力在第一种加载状态下发生的相应位移上所做的功；根据前面所述刚度系数的性质，系数和ijkjik分别包含在这样两种加载状态的外力中，其对应的外力功是1，故1ijjik
12、= kijjikk=。 【基本原理】【基本原理】5.2.2(4) 单元刚度矩阵性质 4：半正定性质 单元刚度矩阵性质 4：半正定性质 单元刚度矩阵是半正定半正定(positive Semi-definite)的。 为说明这种性质，将基于节点表达的应变能写成展开的形式 ()2 11 111111111111 2 1 21 2eTeeiinnjjjijijnjnnnnininnnnnnijij ijUk uk u uk u uk u uk u uk u uk u uk u uk u uk uu=+=q K q?+?(5-16) 其中节点位移为12Te nuuu=q?，也就是说，U 是关于变量的二次
13、齐次多项式。在线性代数里，(5-16)式称为“二次型” 。而对应系数所组成的方阵 Ke称为二次型矩阵。在去除刚体位移的情况下， 不论位移列阵取何种数值， 除非eqeq0e=q， 应变能 U 总是正值。 这样的二次型在数学上称为是“正定正定（positive definite）的” ，表达这二次型的矩阵也就称为 “正定矩阵” 。但单元在刚体位移情况下，有 qe0（刚体位移） ，而此时的应变能 U0， 则一定有|Ke|0，因此，单元刚度矩阵是半正定的。单元刚度矩阵的系数还有性质 kii0。 172有限元分析基础教程 曾攀 3. 考察刚体位移考察刚体位移 假设一个单元在受相同外载情形下存在两种状态位
14、移(即该单元可以任意移动，但所受 的力是保持平衡的)，仍以方程(5-12)所描述的一维杆单元为例来说明该问题。 在节点载荷1,2pp作用下，该单元有位移 ( )( )1 111 22ucuc=(5-17) 假设该单元此时在保持 p1，p2作用状态下有一刚体位移，则节点位移为 ( )( )( )( )12 11011 2202ucucucuc=+=2=+=(5-18) 其中为刚体位移的平移量；则对应于这两种情形的单元刚度方程为 0u( )( )0 1112110 212222kkcp kkpc= (5-19) ( )( )2 1112112 212222kkcp kkpc=(5-20) 将(5-20)式减去(5-19)式，得到 ( )( )( )( )21 11121
