初等数学研究数系分析

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1、第2章 数系分析数是人类利用定量的方法研究现实世界的最早工具. 随着人类认识自然的不 断深入，数的概念也在不断地发展， 形成了不同类型的数系。 在人们的现实生活 中，数是应用最广泛的数学知识。通过对社会数学应用意识的调查发现，认为数 学知识中最有用的就是数，达到了100。可见，数是学生学习最早的也是学习 时间最长的数学知识。 本章主要讨论数系及其发展、 数论初步、向量代数初步以及中学数系教学中常见 问题的分析。2.1 数系及其发展数系是随着社会发展而逐步扩展起来的一个多层次家族. 这些数的含义及其 运算是学生最熟悉的内容。 但要从整体上研究数的性质和特点，还需要了解数系 及其发展的进程，以及相

2、关的理论。本节先从历史的角度，介绍数系的发展，进 而对数系的逻辑扩充作概要的介绍。 2.1.1 数系扩充的历史 人们对数的认识是个逐渐发展的过程。在远古时代， 人类在捕鱼、 狩猎和采 集果实的劳动中，有时有收获，有时无收获。这样，逐渐形成了“多”和“少” 的概念 . 由于生产的发展，劳动收获增加了，人们有了计数的需求，如：一个羊 倌看着他的羊群，同时用手指数着他的羊，如果他的手指头不够用，他采用“记 账”的手段，在他的赶羊棒上刻下一些道道，尽管他还有十个手指头数数，但在 不知不觉中，他已不受“十”这个数的限制了。后来人们认识到用标记表示数的 作用。在做标记的过程中， 究竟牵涉到的是什么物体并不

3、重要，只要他们能够告 诉我们数的某些性质， 也就是能够说明数量的多少，就可以实现标记的目的。 做 标记的实质是把事物联系起来形成一个概念，其方法就是我们熟知的映射思想。 当你数数的时候， 你让一个手指确切地代表一个词，你不会让两个手指代表同一 个词，或是掰着同一个手指说出两个词。这就是一对一的方法， 每个手指对应着 一个数词， 而且仅有一个， 数学上称之为一一映射。 这是我们计数过程的关键所 在。数的概念最初不论在哪个地区1、2、3、, 这样的自然数开始的，只是记数 的符号不同。 随着生产生活的需要， 人们发现， 仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分 配猎物时， 5 个人分 4 件东西，每个人

4、该得多少呢？于是分数就产生了，形成了 正有理数。 在西方，一个典型的事例是由线段的度量问题引出整数比的问题，使 人们获得了对分数的认识，人类完成了数的概念的第一次扩充。 零的使用并不是直觉的概念。 数学问题开始于真实的问题与抽象的问题两个 方面。在古代，数学被想象成为具体的事物。这与今天抽象的数字概念是不相同 的。从五匹马到“五个事物” ，然后再抽象至概念“五”的过程是个很大的飞跃。 直到公元 650 年左右印度的数学家才把0 当做一个数字，引进数0，把自然数集 扩充成为扩充成为扩大的自然数集，即非负整数集。 这可以看作是数概念的第二 次扩充。 历史上负数的引进颇费一番周折，我国早在公元前的

5、九章算术 中就已在 非常自然的情况下明确使用了负数，其原因与早期使用的计算工具算筹有 关。在国外最早引入负数的是印度人婆罗摩笈多( Brahmagupta ) 。 他在公元前 628 年左右用正数表示财产，负数表示负债，并提出负数的四则运算，并且有了“正数的平凡根有两个，一正一负” ， “负数没有平方根”等结论。但是印度人并不是 毫无保留地接受负数。他们不接受负数是方程的解。在西方至17 世纪，负数仍 没有得到数学界的广泛承认， 说负数是荒谬的数。直至在数轴上赢得了几何表示， 数学家才承认负数是数。这是数概念的第三次扩充。 公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的西帕索斯发现了“正方形的边长与对角线

6、 不可公度” 这一事实。 边长与对角线在结构上并没有什么区别，我们可以把对角 线插在边长的延长线上， 这样就会发现， 不管把距离分成多少等分， 在直线上总 是有一些永远接近不了的点， 就是说有理数的全体无法穷竭直线上的点。这样就 造出许多无理数。 无理数的定义出自于19世纪德国数学家戴德金 ( R.Dedekind) 。 他阐述了有理数的有序性、 稠密性( 任意两个有理数之间存在无限多个数) 和戴德 金分割 ( 每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二 类中的任一个数，做出这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中)。利用这 个分割方法可以得到无理数的定义。 所有负有理数和

7、平方小于2 的正有理数的组成在2左边的数轴上，所有平方大于2 的正有理数的组成在2右边的数轴上，这两个有理数集定义了无理数2。由此定义了无理数。由所有有理数和无理数共同组成的数集叫实数集。这是数的概念的第四次扩充。 复数最初是在解二次方程的过程中出现的，我们知道正正得正，负负也得正。 这就是说永远不可能出现某个数的平方得负数。那么取-1 的平方根呢？它的平 方根肯定不可能是正数， 也不可能是负数。 在很多世纪中， 数学家都把它们放在一边。但人们会遇到解方程2+1=0x的问题。这是一个相当简单的多项式方程，它的两个解就是 -1 开平方根，我们称之为负数方根。如果我们根本不承认-1，那么这个多项式

8、方程是无解的， 而且这种类型的问题有很多。 对任何一个正实数r ， 若有多项式方程 :2+r=0x, 则必定会出现 -r 的平方根。于是就创造出一种新数，这种新数被命名为“虚数单位” 。著名的数学家欧拉建议用符号“i ”来表示这个数，于是有-1=i ，复数便被创造出来了。在过去的很多世纪中， 数学家们根本不理会负数开方问题，如果多项式方程 仅有负数方根， 那么数学家们就会断言说方程无解。最先考虑把负数的平方根作 为多项式方程解的是阿贝尔( H.N.Abel)。在 17 世纪几乎没有别的人同意他的这 种做法，直到代数与几何得到重大改造时，这个问题才得以解决。笛卡尔 ( R.Descartes )

9、 提供了必要的工具笛卡尔坐标系。高斯( K.F.Gauss ) 给出了最后 的解答。 高斯使用笛卡尔坐标系，将水平方向的X轴指定为实数轴，经原点垂直于X 轴的叫做虚轴 ( 用实数乘 i 表示) 。由此可知， 2i 是在虚轴上以原点向上两个单 位的点，而 -i就是在虚轴上以原点向下一个单位的点。复平面上的每个点都能 找到一实数对与其一一对应， 即坐标系上每个点都可用两个数a 和 b 表示。这两 个数定义了一个复数abi，其中 a 是它的实数部分， b 是它的虚数部分。高斯 用这种方法定义了复数， 实数只是复数的一个子集， 是虚部为 0 的复数。这是数 的第五次扩充。由于虚数和复数表示的量在现实生

10、活中长期得不到应用，使人们感到虚数有 些“虚无缥缈”。这就是“虚数”名称的来源。随着科学的发展，虚数在水力学、 地图学、航空学等领域已有广泛的应用，从此，虚数不在“虚”了。 数的概念发展到复数以后， 在很长一段时间内， 数学家认为数的概念已经十 分完善了。知道 1828年，哈密顿 (W.R.Hamilton)开始考虑将复数的思想推广到三 围空间。 1843 年 10 月 16 日，他又提出了“四元数”的概念，所谓四元数，就 是一种形如n+xi+yj+zk 的实数四元组。它是由一个标量(实数 )和一个向量 xi+yj+zk(其中 x,y,z 为实数 )组成的，且有下列等式成立：2221ijk,1

11、ijjik jkkji kiikj ijk哈密顿的四元数使代数学家认识到，通过适应的改变代数中的基本运算规 则，则可以扩展得出新的数。因此，四元数理论标志着现代抽象代数的开始。数 系的发展并没有到此结束，由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、 环、域等概念不断产生， 把数系研究推向一个新的高峰。尽管人们对数的归类法 还有些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上是完全一致的。 2.1.2 数的运算 人们由数数开始逐渐认识到了自然数。根据数数原理可以定义加法， 将相同 的加数的简便运算定义为乘法。 自然数的加法和乘法受着某些算律的支配。以下 是我们熟知的五个算术定律： 加法交换律：ab

12、ba 乘法交换律：abba加法结合律： abcabc乘法结合律： a bcab c乘法对加法的分配率：a bcabac在两个整数加法定义的基础上， 可以定义数的减法。 数 b 可以通过数 a 加上 第三个数 c 得到，即，或记作。它定义了减法运算。加法和减法互为逆运算。整 数零用记号“ 0”表示，则对于任意一个整数a，规定 a+0=a，a-a=0.减去一个正 数等于加上这个正数的相反数，这样就能保证减法在正、 负整数中总能实施， 负 数相乘的运算法则是人们很难理解的问题。我们从负数基本定义出发作如下说 明： 由负数概念可知：0aa两边都乘上 b：0=0baab应用乘法分配律：0baba两边减去

13、 ba：baba于是有定义法则：一个正数乘以一个负数等于这样两个数的绝对值的乘积且 符号取负号。由此也可以推出乘法运算法则：正正得正；正负得负；负正得负；负负得正。 负整数和零引入后， 使整数对于加法运算封闭封闭。对于乘法的逆运算除法 来说，分数的引入使除法运算总能够实施。由方程ax=b 得两个整数 a 和 b 的商x=ab，仅当 a 是 b 的因子时，才存在整数解x，否则，记号ab称为分数。它满足a(ab)=b，从而ab是方程 ax=b 的解，但应注意 0 不能做除数。对于乘方的逆运算开方来说，例如22x的方程，它在有理数系中无解，这就引出无理数，在实数系中方程的解存在。在实数系范围内二次方

14、程不一定有解，如一个简单的方程：21x就没有实数解，因为任何实数的平方总不为负数，因此，要么此方程不可解，要么扩充 数的概念。引入新数使此方程有解，而通过定义i2=1，引入新的符号 i，记为“虚数单位”，进而定义复数 a+bi，于是可以解决诸如21x的方程。数系扩充是从最初正整数集出发，经过漫长的过程引入负数和分数，以便使 减法和除法总能进行， 进而扩充到有理数系， 对于算数的四则运算来说， 这个数 系是完备的。 由于增加了乘方和开方两种新的运算，这自然需要将有理数系扩充 到复数系，对于代数的六种基本运算来说，这个数系也是完备的。现在，我们可 以在加、减、除、乘方和开方这六种基本运算当中，随意

15、进行任何一种运算，不 管按哪种次序进行多少次都不会超过这个数系的范围。 2.1.3 数系的逻辑补充 1.代数体系及群、环、域的一些基本概念 1)代数运算与代数体系 数学中运算是最基本、最普通的概念和方法。如数的运算、多项式的运算、 向量的运算、矩阵的运算、线性变换的运算等。代数体系是具有运算的集合，代 数运算则是它的决定性的因素，因此我们首先给出代数运算的概念。 定义 1 设 A 是一个非空集合， AA 到 A 的一个映射“”称为 A 的一个 代数运算。 整数集 Z，有理数集 Q，复数集 C，对通常的加法、 减法，乘法分别都是 Z、 Q、R、C 的代数运算作为一个有机整体来看，引进代数系统的定

16、义。 定义 2 设 A 为任意集合， 为 A 上的一个代数运算。 把 A 及其代数运算作为一个整体记作 (A, )，称(A,)为有一个代数运算的代数体系。1、2是 A 上的两个代数运算，把 A 及其代数运算1、2作为一个整体记作 (A,1,2)， 称(A,1,2)为具有两个代数运算的代数体系。 设(A,)是一个代数体系，若A 中存在元素 e，使对aA，都有 e a=a， 则称元素 e 是代数体系 (A, )中的一个左恒等元素；如果A 中存在元素 e，使对 a A，都有 a e=a，则称元素 e是代数体系 (A,)中的一个右恒等元素。 当e A，而且 e 是一个左恒等元素，同时也是一个右恒等元素时，称e 是 (A,)中的一个恒等元素。 即有 e A 是(A,)的恒等元素e a=a=ae(aA)。 设 e为代数体系 (A,)中的恒等元素。对aA，有元素aA，使 aa=e，则称a是 a 的一个右逆元素；若对aA，有元素aA，使 aa=e，则称a是 a 的一个左逆元素。 当a是 a 的右逆元素，同时也是a 的左逆元素，则称a是 a 的一个逆元素。 亦即 a是 a 的逆元