高考数学必胜秘诀(8)圆锥曲线

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1、圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于| F1F2| ，定义中的“绝对值”与2a |F1F2| 不可忽视 。若2a|F1F2| ，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（ 1）已知定点)0, 3(),0 ,3(21FF，在满足

2、下列条件 的 平 面 上 动 点P 的 轨 迹 中 是 椭 圆 的 是A421PFPFB621PFPFC 1021PFPFD 122221PFPF（ 答 ： C ）；（ 2 ） 方 程2222(6 )(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为分母 ” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线 42xy上一动点 P（x,y） ,则 y+|PQ| 的最小值是 _（答： 2）2.

3、 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程） ：（1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cos sinxa yb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay 1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C同号， A B） 。如（ 1）已知方程12322ky kx表示椭圆，则k的取值范围为_ （答：11( 3,)(,2)22） ；（2） 若Ryx,， 且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2）（2）双曲线 ： 焦点在x轴上：2222byax=1 ，

4、焦点在y轴上：2222bxay1 （0,0ab） 。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。如（ 1）双曲线的离心率等于 25，且与椭圆1 4922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_（答：2 214xy） ； （2）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P，则 C的方程为 _（答：226xy）（3）抛物线 ：开口向右时22(0)ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（ 1） 椭

5、圆 ：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如 已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_（答：) 23, 1 ()1,(）（2）双曲线 ：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒 ： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、 双曲线的定位条件，它决定椭圆、 双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，

6、a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。 4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线2axc； 离心率：cea， 椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 如 （1） 若椭圆1522myx的离心率 510e，则m的值是 _（答： 3 或325） ； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）

7、双曲线 （以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线， 其方程可设为22,0xyk k； 准线：两条准线2axc； 离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。如（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_（答：132或133） ； （2） 双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答： 4 或14） ；

8、（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是 _（答：, 32） ；（3） 抛物线（以22(0)ypx p为例） ： 范围：0,xyR； 焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（ 0,0） ；准线：一条准线 2px； 离心率：cea，抛物线1e。如设Raa, 0，则抛物线24axy的焦点坐标为 _（答：)161,0(a） ；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系 ： （ 1）点00(,)P xy在椭圆外22 00 221xyab； （ 2）

9、点00(,)P xy在椭圆上22 0 22 0 byax 1； （3）点00(,)P xy在椭圆内22 00 221xyab 6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线 相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但 直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（ 1）若直 线 y=kx+2与双曲线x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k

10、 的取值范围是_（答：(- 315,-1) ） ；（2） 直线 ykx1=0与椭圆22 15xym恒有公共点， 则 m 的取值范围是 _（答： 1，5）（5，+） ） ； （3）过双曲线1 2122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有_条（答： 3） ； （2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与 抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与 抛物线相离。特别提醒 ： （1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和 相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线

11、与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2） 过双曲线2222byax 1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线 一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近 线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条 直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点)4,

12、2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2） ； （2）过点 (0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ （答：44 5,33） ；（3） 过双曲线1 22 2yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B 两点，若AB4，则满足条件的直线l有_条 （答：3） ； （4） 对于抛物线C：xy42， 我们称满足02 04xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200xxyy与抛物线C 的位置关系是 _（答：相离） ； （ 5）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与 F

13、Q的长分别是p、q， 则 qp11_ （答： 1） ；（6） 设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、 右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于) （答：等于）； （ 7） 求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离 （答：8 1313） ； （8）直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：3,3；1a） ；7、焦半径 （圆锥曲线上的点P到焦点 F的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，

14、即焦半径red，其中d表示 P到与 F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1 162522yx上一点 P到椭圆左焦点的距离为3，则点 P到右准线的距离为_（答：353） ； （2） 已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（ 3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4， 则点M的坐标为 _（答：7,(2,4)） ； （4）点 P 在椭圆1 92522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为 _（答：2512） ； （5）抛物线xy22上的两点A、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y轴的距离为 _（答： 2） ；

15、（6）椭圆1 3422yx内有一点) 1, 1 (P，F 为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点M 的坐标为_（答：)1, 362(） ；8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分别为12,r r，焦点12F PF的面积为S，则在椭圆12222byax中，) 12arccos(212rrb，且当12rr即P为短轴端点时，最大为max222 arccos acb；2 0tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin212 21brrS。 如（ 1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B 两点，则2ABF的周长为 _（答： 6） ； （2） 设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6 ，则该双曲线的方程为（答：224xy） ； （3）椭圆22 194xy的焦点为F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2PF10 时，点 P 的横坐标的取值范围是（答：3 5 3 5(,)55） ； （4）双曲线的虚轴长为4，离心