《高考数学必胜秘诀(8)圆锥曲线》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学必胜秘诀(8)圆锥曲线(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件:椭圆中 ,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此 常数2a一定要大于21FF,当常数等于21FF时,轨迹是线段F1F2,当常数小于21FF时,无轨迹; 双曲线中 ,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于| F1F2| ,定义中的“绝对值”与2a |F1F2| 不可忽视 。若2a|F1F2| ,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a|F1F2| ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如( 1)已知定点)0, 3(),0 ,3(21FF,在满足
2、下列条件 的 平 面 上 动 点P 的 轨 迹 中 是 椭 圆 的 是A421PFPFB621PFPFC 1021PFPFD 122221PFPF( 答 : C );( 2 ) 方 程2222(6 )(6)8xyxy表示的曲线是_(答:双曲线的左支)(2)第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“ 点点距为分子、点线距为分母 ” ,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线 42xy上一动点 P(x,y) ,则 y+|PQ| 的最小值是 _(答: 2)2.
3、 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程) :(1)椭圆 :焦点在x轴上时12222byax(0ab)cos sinxa yb(参数方程,其中为参数),焦点在y轴上时2222bxay 1(0ab) 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么?(ABC0,且 A,B,C同号, A B) 。如( 1)已知方程12322ky kx表示椭圆,则k的取值范围为_ (答:11( 3,)(,2)22) ;(2) 若Ryx,, 且62322yx,则yx的最大值是 _,22yx的最小值是 _(答:5,2)(2)双曲线 : 焦点在x轴上:2222byax=1 ,
4、焦点在y轴上:2222bxay1 (0,0ab) 。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且 A,B 异号) 。如( 1)双曲线的离心率等于 25,且与椭圆1 4922yx有公共焦点,则该双曲线的方程_(答:2 214xy) ; (2)设中心在坐标原点O,焦点1F、2F在坐标轴上,离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P,则 C的方程为 _(答:226xy)(3)抛物线 :开口向右时22(0)ypx p,开口向左时22(0)ypx p,开口向上时22(0)xpy p,开口向下时22(0)xpy p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):( 1) 椭
5、圆 :由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如 已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是_(答:) 23, 1 ()1,()(2)双曲线 :由x2,y2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线 :焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒 : (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、 双曲线的定位条件,它决定椭圆、 双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,
6、a最大,222abc,在双曲线中,c最大,222cab。 4. 圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆 (以12222byax(0ab)为例):范围:,axabyb;焦点:两个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0xy,一个对称中心(0,0 ) ,四个顶点(,0),(0,)ab,其中长轴长为2a,短轴长为2b;准线:两条准线2axc; 离心率:cea, 椭圆01e,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。 如 (1) 若椭圆1522myx的离心率 510e,则m的值是 _(答: 3 或325) ; (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,则椭圆长轴的最小值为_(答:22)(2)
7、双曲线 (以22221xyab(0,0ab)为例):范围:xa或,xa yR;焦点:两个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0xy,一个对称中心(0,0 ) ,两个顶点(,0)a,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线, 其方程可设为22,0xyk k; 准线:两条准线2axc; 离心率:cea,双曲线1e,等轴双曲线2e,e越小,开口越小,e越大,开口越大;两条渐近线:byxa。如(1)双曲线的渐近线方程是023yx,则该双曲线的离心率等于_(答:132或133) ; (2) 双曲线221axby的离心率为5,则:a b= (答: 4 或14) ;
8、(3)设双曲线12222byax(a0,b0)中,离心率e2,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是 _(答:, 32) ;(3) 抛物线(以22(0)ypx p为例) : 范围:0,xyR; 焦点:一个焦点(,0)2p,其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴0y,没有对称中心,只有一个顶点( 0,0) ;准线:一条准线 2px; 离心率:cea,抛物线1e。如设Raa, 0,则抛物线24axy的焦点坐标为 _(答:)161,0(a) ;5、点00(,)P xy和椭圆12222byax(0ab)的关系 : ( 1)点00(,)P xy在椭圆外22 00 221xyab; ( 2)
9、点00(,)P xy在椭圆上22 0 22 0 byax 1; (3)点00(,)P xy在椭圆内22 00 221xyab 6直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双曲线 相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但 直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如( 1)若直 线 y=kx+2与双曲线x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则k
10、 的取值范围是_(答:(- 315,-1) ) ;(2) 直线 ykx1=0与椭圆22 15xym恒有公共点, 则 m 的取值范围是 _(答: 1,5)(5,+) ) ; (3)过双曲线1 2122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点,若 AB 4,则这样的直线有_条(答: 3) ; (2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与 抛物线相切;(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与 抛物线相离。特别提醒 : (1)直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和 相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线
11、与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2) 过双曲线2222byax 1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线 一支相切的两条切线,共四条;P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近 线平行的直线,一条是切线;P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条 直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)过点)4,
12、2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点,这样的直线有_(答: 2) ; (2)过点 (0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ (答:44 5,33) ;(3) 过双曲线1 22 2yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B 两点,若AB4,则满足条件的直线l有_条 (答:3) ; (4) 对于抛物线C:xy42, 我们称满足02 04xy的点),(00yxM在抛物线的内部,若点),(00yxM在抛物线的内部,则直线l:)(200xxyy与抛物线C 的位置关系是 _(答:相离) ; ( 5)过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段 PF与 F
13、Q的长分别是p、q, 则 qp11_ (答: 1) ;(6) 设双曲线191622yx的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、 右支和右准线分别于RQP,,则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于) (答:等于); ( 7) 求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离 (答:8 1313) ; (8)直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:3,3;1a) ;7、焦半径 (圆锥曲线上的点P到焦点 F的距离) 的计算方法 :利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,
14、即焦半径red,其中d表示 P到与 F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆1 162522yx上一点 P到椭圆左焦点的距离为3,则点 P到右准线的距离为_(答:353) ; (2) 已知抛物线方程为xy82,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于_;( 3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4, 则点M的坐标为 _(答:7,(2,4)) ; (4)点 P 在椭圆1 92522yx上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为 _(答:2512) ; (5)抛物线xy22上的两点A、B 到焦点的距离和是5,则线段AB 的中点到y轴的距离为 _(答: 2) ;
15、(6)椭圆1 3422yx内有一点) 1, 1 (P,F 为右焦点,在椭圆上有一点M,使MFMP2之值最小,则点M 的坐标为_(答:)1, 362() ;8、焦点三角形 (椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 :常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分别为12,r r,焦点12F PF的面积为S,则在椭圆12222byax中,) 12arccos(212rrb,且当12rr即P为短轴端点时,最大为max222 arccos acb;2 0tan|2Sbc y,当0|yb即P为短轴端点时,maxS的最大值为bc;对于双曲线22221xyab的焦点三角形有:21221arccosrrb;2cotsin212 21brrS。 如( 1)短轴长为5,离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F,过1F作直线交椭圆于A、B 两点,则2ABF的周长为 _(答: 6) ; (2) 设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点,F1、F2是左右焦点,若0212FFPF,|PF1|=6 ,则该双曲线的方程为(答:224xy) ; (3)椭圆22 194xy的焦点为F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2PF10 时,点 P 的横坐标的取值范围是(答:3 5 3 5(,)55) ; (4)双曲线的虚轴长为4,离心