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1、第一讲 : 极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型 : (1)数列 : *( )naf n; *1()nnaf a(2)初等函数 : (3)分段函数 : *0102( )( ),( )xxfxF xxxfx; *00( )( ),xxf xF xxxa;* (4)复合 (含)函数 : () ,()yf uux(5)隐式 (方程 ): ( , )0F x y(6)参式 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t(7)变限积分函数: ( )( , )xaF xf xtdt(8)级数和函数 (数一 ,三): 0( ),n n nS xa xx2. 特征 (几何 ): (1)单调性与有界性(判别
2、 ); (单调000, ()( )()xxxfxf x定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质 : 1. 类型 : *limnna ; *lim( ) xfx (含x); *0lim( ) xxf x (含0xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000,1,0,0,04. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , *归并性三. 常用结论 : 1 1nn, 1 (0)1naa, 1 ()max(, )nnnnabca b c, 00!naan1(0)x x, 0lim1xxx ,
3、lim0nxxxe, lnlim0nxxx, 0limln0nxxx , 0,xxex四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, sin ( )( )uxux; tan ( )( )uxux; 211cos ( )( )2u xux ; ( )1( )u xeu x; ln(1() )()u xu x; (1() )1()u xu x; arcsin()( )uxux; arctan()( )u xu x2. 泰勒公式 : (1)2211() 2!xexxox ; (2)221ln(1)()2xxxox ; (3)341sin()3!xxxox ; (4)24511cos1
4、()2!4!xxxo x ; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x . 五. 常规方法 : 前提 : (1) 准确判断0,1 ,0M (其它如 :00,0,0 ,); (2)变量代换 (如:) 1. 抓大弃小() , 2. 无穷小与有界量乘积(M) (注:1sin1, xx) 3. 1处理 (其它如 :000 ,) 4. 左右极限 (包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex; 1 (0)xex; (3)分段函数 : x, x, max( )f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子 ) 6. 洛必达法则(1)先”处理” ,后法则 (最后方法 ); (注意对比
5、 : 1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx) (2)幂指型处理 : ( )()ln ()( )vxvxuxuxe(如: 1111111(1)xxxxxeee e) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( )lim( , ) nf xFxn (分段函数 ) 六. 非常手段1. 收敛准则 : (1)()lim()nxaf nf x(2)双边夹 : *?nnnbac, *,?nnbca(3)单边挤 : 1()nnaf a*21?aa*?naM*( )0?fx2. 导数定义 (洛必达 ?): 00lim() xf
6、fxx3. 积分和 : 10112lim()( )( )( ) nnffffxdxnnnn, 4. 中值定理 : lim ()( )lim( )xxfxafxaf5. 级数和 (数一三 ): (1)1n na 收敛lim0nna , (如2!limnnnnn) (2)12 1lim()nnnnaaaa , (3)na与1 1()nn naa 同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价 ,阶): *( ),(0)?nf xkxx(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnffffa( )()!nnnaaf xxxxnn(2)00( )xxnf t dtkt dt2. 渐近线 (含斜
7、 ): (1)()lim,lim() xxf xabf xax x()f xaxb(2)()f xaxb,(10x) 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2) 分段函数连续性(附:极限函数 , ( )fx连续性 ) 八. , a b上连续函数性质1. 连通性 : (,),fa bm M(注 :01, “平均”值:0( )(1)()()faf bfx) 2. 介值定理 : (附: 达布定理 ) (1)零点存在定理: ( )( )0f a f b0()0fx(根的个数 ); (2)()0()0xaf xf x dx . 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一. 基本概
8、念 : 1. 差商与导数 : ( )fx0()( )lim xf xxf xx; 0()fx000( )()lim xxf xf xxx(1)0( )(0)(0)lim xf xffx(注:0( )lim( xf xA fx连续 )(0)0,(0)ffA) (2)左右导 : 00(),()fxfx; (3)可导与连续 ; (在0x处, x连续不可导 ; x x可导 ) 2. 微分与导数 : ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dx(1)可微可导 ; (2)比较,fdf与“0“的大小比较 (图示 ); 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式; (注: ( ) f
9、 x) 2. 法则 : (1) 四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数1 dx dyy三. 各类求导 (方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)( )fa与( )xafx; (2) 分段函数左右导; (3)0()()lim hf xhf xh h(注: 00( )( ),xxF xf xxxa, 求:0(),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 (公式加法则 ): (1) ( )uf g x, 求:0()u x(图形题 ); (2)( )( )xaF xf t dt , 求:(注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaafxt dtfxt dtf t dt )
10、(3)0102( ),( )xxf xyxxfx,求 00(),()fxfx及0()fx(待定系数 ) 3. 隐式 ( ,)0fx y)导: 22,dyd ydxdx(1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法 . 4. 参式导 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dyd ydxdx5. 高阶导()( )nfx公式 : ( )()axnnaxeae; ( ) 11!() ()n n nbnabxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn ; ( )(cos)cos()2nnaxaaxn()( )1(1)2(2)()“nnnn
11、 nnuvuvC uvC uv注: ()(0)nf与泰勒展式 : 2012( )n nfxaaxa xa x( )(0)!nnfan四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : ( )yf x上点0M和过点0M的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): 23“( )( 1 ( )fxfx(曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五. 单调性与极值(必求导 ) 1. 判别 (驻点0()0fx): (1) ()0()fxf x; ()0()fxf x; (2)分段函
12、数的单调性(3)( )0fx零点唯一 ; “( )0fx驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 ( )fx变号 ); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特点 ) (2)二阶导 (0()0fx) 注(1)与,“ff的匹配 (f图形中包含的信息); (2) 实例 : 由( )( )()( )fxx fxg x确定点“0xx”的特点 . (3) 闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别 : *单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,
13、)xax? (2)类型 : *0,( )0ff a; *0,( )0ff b*“0,() ,( )0ffafb; *00“( )0,()0,()0fxfxf x(3)注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . (如: max()()f xMfxM) 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. “y表格 ; (0“()0fx) 2. 应用 : (1) 泰勒估计 ; (2)f单调 ; (3)凹凸 . 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论 : ( )( )( )( )0F bF aFf2. 辅助函数构造实例: (1)( )f( )( )xaF xf
14、 t dt(2)( ) ( )( )( )0( )()( )fgfgF xf x g x(3)()()()()()0()()fxfgfgF xg x(4)()()()0ff()( )( )x dxFxef x; 3. ( )( )0( )nff x有1n个零点(1)( )nfx有2个零点4. 特例 : 证明( )( )nfa的常规方法 :令()()()nF xf xPx有1n个零点 ( )nP x待定 ) 5. 注 : 含12,时,分家 !(柯西定理 ) 6. 附 (达布定理 ): 在 , a b可导 ,() ,() cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论 :
15、 ( )( )( )()f bfafba; ( )( ),( )0ab) 2. 估计 : ( )ffx九. 泰勒公式 (连接,“fff之间的桥梁 ) 1. 结论 : 23 00000011( )()()()“()()“( )()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx ; 2. 应用 : 在已知 或( )f b值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义 ): 注 :有定积分 (不含变限 )条件时使用 第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2)( )( )f xd xdF x; (3)( )( )f x dxF xc注(1)(
16、 )( )xaF xf t dt (连续不一定可导); (2)()()( )( )xxaaxtftdtftdtfx (连续 ) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f xd xf x; ()()df x dxf x dx(2)( )( )fx dxf xc; ( )( )df xf xc二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆(线性性 ) 1212()( )( )( )k f xk g x dxkf x dxkg x dx3. 凑微法 (基础 ): 要求巧 ,简,活 (221sincosxx) 如: 211(),ln ,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdx x221,(1ln )(ln ) 1xdxdxx dxdxx x4. 变量代换 : (1)常用 (三角代换 ,根式代换 ,倒代换 ): 1s
